题目一：2010年浙江高考数学题，若$x、y\in\Bbb R^+$，满足：$2x+y+6=xy，求xy的最小值$。
解题思路：这种求最小值的题目通常可以应用算术平均数大于等于几何平均数的定理：$\dfrac{a+b}{2}\geqslant\sqrt{ab}$，通过一系列代数转换，最终求得最小值。
$\begin{split}\text{解：}\\&\because 2x+y\geqslant 2\sqrt{2x\cdot y}\Rightarrow 2x+y+6\geqslant 2\sqrt{2x\cdot y}+6\\&\therefore xy\geqslant 2\sqrt{2x\cdot y}+6\\&\therefore xy-2\sqrt{2xy}-6\geqslant0\\&\therefore (\sqrt{xy})^2-2\sqrt2\cdot\sqrt{xy}-6\geqslant 0\\&\therefore (\sqrt{xy}-3\sqrt2)(\sqrt{xy}+\sqrt2)\geqslant0\\&\because \sqrt{xy}+\sqrt{2}\gt0\\&\therefore \text{当且仅当$\sqrt{xy}-3\sqrt2=0$时值最小为0}\\&\therefore \sqrt{xy}=3\sqrt2\\&\therefore xy=18\quad就是最小值！\\\\&\bbox[yellow,5pt,border:2px solid red]{\text{由此可见，只要方法得当，思路清晰，高考题目有时也可以用初中知识解决。}}\end{split}$
题目二：初中数学竞赛压轴题，已知$a、b、c\in \Bbb R^+，abc\ne0$，且满足：$a^2+b^2+c^2=1，a(\dfrac1b+\dfrac1c)+b(\dfrac1c+\dfrac1a)+c(\dfrac1a+\dfrac1b)=-3$，求$a+b+c$的值。
解题思路：这道题有一个陷阱，就是容易漏掉一个解集，需要概念特别清晰，才能正确求解。
$\begin{split}\text{解：}\\&由已知条件(2)两边同时乘以abc可得：\\&a^2bc\cdot(\dfrac1b+\dfrac1c)+ab^2c\cdot(\dfrac1c+\dfrac1a)+abc^2\cdot(\dfrac1a+\dfrac1b)=-3\cdot abc\\&\Rightarrow a^2c+a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+ac^2=-3abc\\&\Rightarrow ac(a+c)+ab(a+b)+bc(b+c)=-3abc\\&\Rightarrow ac(a+c)+abc+ab(a+b)+abc+bc(b+c)+abc=0\\&\Rightarrow ac(a+b+c)+ab(a+b+c)+bc(a+b+c)=0\\&\Rightarrow (a+b+c)(ac+ab+bc)=0\\&\therefore a+b+c=0或者ac+ab+bc=0\\&多数同学以为到此就结束了，但是观察发现a^2+b^2+c^2=1这个条件没有用上:\\&\because (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ac+ab+bc)=1+0=1\\&\therefore a+b+c=\pm1\\&\bbox[yellow,5pt,border:2px solid red]{\therefore \text{结果应该是三个：}a+b+c=0或a+b+c=1或a+b+c=-1}\end{split}$
题目三：初中数学竞赛压轴题，已知正整数$a、b$满足$(a+b)^2=a^3+b^3$，求$a、b$的值。
解题思路：观察发现一个完全平方数等于两个数的立方和，需要通过巧妙的变换，然后分情况进行求解。
$\begin{split}\text{解：}\\&(a+b)^2=a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\\&\because a+b\gt0\\&\therefore a+b=a^2-ab+b^2\Rightarrow a^2-ab+b^2-a-b=0\\&\Rightarrow 2a^2+2b^2-2ab-2a-ab=0\\&\Rightarrow (a^2+b^2-2ab)+(a^2-2a+1)+(b^2-ab+1)=2\\&\Rightarrow (a-b)^2+(a-1)^2+(b-1)^2=2\\&\because (a-b)^2、(a-1)^2、(b-1)^2均为大于等于0的整数\\&\therefore (1)a-b=0(a=b)\Rightarrow \begin{cases}(a-1)^2=1\\(b-1)^2=1\end{cases}\Rightarrow a=b=2 \\&\quad(2)a-b\ne0(a\ne b)\Rightarrow (a-b)^2\gt0\Rightarrow (a-b)^2=1\\\\&\Rightarrow \begin{cases}(a-1)^2=1\\(b-1)^2=0\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}a=2\\b=1\end{cases}\\\\&或\quad\begin{cases}(a-1)^2=0\\(b-1)^2=1\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}a=1\\b=2\end{cases}\end{split}$
题目四：华罗庚杯初中数学竞赛题，解方程：$\sqrt[3]{x+28}-\sqrt[3]{x-28}=2$。
解题思路：类似题目，首先想到的是使用换元法，观察发现，三次根号下的代数式可以凑成立方差，可以使用双倍换元法，然后求解。
$\begin{split}\text{解：}\\&令：\sqrt[3]{x+28}=m，\sqrt[3]{x-28}=n\\&\therefore \begin{cases}m-n=2\qquad\cdots(1)\\m^3-n^3=56\quad\cdots(2)\end{cases}\\&由(2)式可得：(m-n)(m^2+mn+n^2)=56\Rightarrow m^2+mn+n^2=28\\&\Rightarrow (m-n)^2+3mn=28\\&\therefore 3mn=24\\&\Rightarrow mn=8\\&\therefore \begin{cases}m-n=2\\mn=8\end{cases}\\&\Rightarrow (n+2)n=8\Rightarrow n^2+2n-8=0\Rightarrow (n+4)(n-2)=0\\&\therefore n_1=-4，n_2=2\\&\text{当}n_1=-4时：m_1=-2；\text{当}n_2=2时：m_2=4\\&\therefore \sqrt[3]{x+28}=-2\Rightarrow x+28=-8\Rightarrow x_1=26\\&\sqrt[3]{x+28}=4\Rightarrow x+28=64\Rightarrow x_2=-36\\&\therefore\text{最终的结果：}x=\pm36\end{split}$
题目五：中学奥林匹克数学竞赛压轴题，已知$x=\dfrac{\sqrt5+1}{2}，\text{求}\dfrac{x^3+x+1}{x^5}\text{的值。}$
解题思路：乍一看，代入求值即可，但是计算量特别大，容易出错，既然是压轴题，自然需要一定的技巧，化简也不仅仅是代入，需要另辟蹊径。
$\begin{split}\text{解：}\\&\because x^2=\dfrac{5+2\sqrt5+1}{4}=\dfrac{4+2+2\sqrt5}{4}=1+\dfrac{1+\sqrt5}{2}=x+1\\&\therefore \dfrac{x^3+x+1}{x^5}=\dfrac{x^3+x^2}{x^5}=\dfrac{x^2(x+1)}{x^5}=\dfrac{x^2\cdot x^2}{x^5}=\dfrac1x=\dfrac{2}{\sqrt5+1}=\dfrac{\sqrt5-1}{2}\end{split}$
题目六：2008年江西省高考数学压轴题，已知$x、y、z\in \Bbb R，xyz=1，\text{证明：}\Big(\dfrac{x}{x-1}\Big)^2+\Big(\dfrac{y}{y-1}\Big)^2+\Big(\dfrac{z}{z-1}\Big)^2\geqslant1$
解题思路：乍一看，似乎无从入手，类似题目，最靠谱的方法还是使用类似换元法的证明方式。
$\begin{split}证明：\\&设a=\dfrac{x}{x-1}，b=\dfrac{y}{y-1}，c=\dfrac{z}{z-1}\\&ax-a=x\Rightarrow x(a-1)=a\Rightarrow x=\dfrac{a}{a-1}，同理：y=\dfrac{b}{b-1}，z=\dfrac{c}{c-1}\\&\because xyz=1\Rightarrow \dfrac a{a-1}\cdot\dfrac b{b-1}\cdot\dfrac c{c-1}=1\\&\therefore abc=(a-1)(b-1)(c-1)=abc-ab-bc-ac+a+b+c-1\\&\therefore ab+bc+ac=a+b+c-1\\\\&\because a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)\\&=(a+b+c)^2-2(a+b+c-1)=(a+b+c)^2-2(a+b+c)+1+1\\&=(a+b+c-1)^2+1\geqslant1\\&\bbox[yellow,6pt,border:2px solid red]{由此可见，即使是高考压轴题，只要思路正确，用初中方法也能做出来，似乎也没有想象得难度！}\end{split}$