$题目一：解方程 (4+\sqrt{15})^x+(4-\sqrt{15})^x=62$。复旦大学附中自主招生题目，有难度。
解题思路：观察发现底数似乎有些相似，得找出来这两个底数之间的关系才能解出来。但是，如何找出来这两个底数之间的关系呢？不妨通过换元法试一下，类似题目，换元法是比较常见的套路。
$\begin{split}\text{解：}\\&\text{令$(4+\sqrt{15})^x=t$}\\&\because4-\sqrt{15}=\frac{(4-\sqrt{15})(4+\sqrt{15})}{4+\sqrt{15}}=\frac{4^2-(\sqrt{15})^2}{4+\sqrt{15}}=\frac1{4+\sqrt{15}}\\&\therefore (4-\sqrt{15})^x=\frac1t\\&\therefore \text{原方程可以转换为：}t+\frac1t=62\\&\therefore t^2-62t+1=0\\&\text{通过求根公式可得：}t_1=31+8\sqrt{15}，t_2=31-8\sqrt{15}\\&\therefore (4+\sqrt{15})^x=31+8\sqrt{15}=(4+\sqrt{15})^2\Rightarrow x_1=2\\&(4+\sqrt{15})^x=31-8\sqrt{15}=(4-\sqrt{15})^2=(\frac{1}{4+\sqrt{15}})^2=(4+\sqrt{15})^{-2}\Rightarrow x_2=-2\\&\therefore x=\pm2\end{split}$
$题目二：\displaystyle已知：a=\sqrt[3]4+\sqrt[3]2+1，求：\frac3a+\frac{3}{a^2}+\frac1{a^3}的值。中考数学压轴题，大多数人束手无策！$
解题思路：乍一看，似乎无从下手，但是，通过观察发现，把需要计算的算式进行通分之后，似乎跟立方差的公式有些联系，那不妨从这里考虑计算代数式的值，当然，换元法还是解决问题的重要手段。
$\begin{split}\text{解：}\\&\because\frac3a+\frac{3}{a^2}+\frac1{a^3}=\frac{3a^2+3a+1}{a^3}=\frac{(a+1)^3-a^3}{a^3}=\left(\frac{a+1}{a}\right)^3-1\\&\text{令$m=\sqrt[3]2$}\text{，则：}a=m^2+m+1\\&(m-1)\cdot a=(m-1)(m^2+m+1)=m^3-1^3=\left(\sqrt[3]2\right)^3-1=1\\&\therefore a=\frac1{m-1}\\&\therefore\displaystyle \frac{a+1}{a}=\frac{\frac1{m-1}+1}{\frac{1}{m-1}}=m\\&\therefore \frac3a+\frac{3}{a^2}+\frac1{a^3}=m^3-1=(\sqrt[3]2)^3-1=1\end{split}$
$题目三：解方程 \sqrt{7x^2+9x+13}+\sqrt{7x^2-5x+13}=7x$，1995年某地方中考数学压轴题，难度较大。
解题思路：类似题目，最容易想到的就是使用换元法，常见的换元方式有直接换元、均值换元，但是，这道题目似乎都无法用一般的方式进行换元，怎门办？那就结合上述几种方法进行综合换元。
$\begin{split}\text{解：}\\&\text{令$a=7x^2+2x+13，b=7x$}\\&a\pm b\geqslant0，b\geqslant0\\&\text{则原方程可以转换为：}\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}=b\\&\therefore (\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b})^2=b^2\\&\therefore 2a+2\sqrt{a^2-b^2}=b^2\\&\therefore 2\sqrt{a^2-b^2}=b^2-2a\\&\therefore 4a^2-4b^2=b^4-4ab^2+4a^2\\&\therefore b^2=4a-4\\&\text{还原后可得：}(7x)^2=4(7x^2+2x+13)-4\Rightarrow 21x^2-8x-48=0\\&\therefore(7x-12)(3x+4)=0\\&\text{解得：}x_1=\frac{12}7，x_2=-\frac43\\&\because b\geqslant0\\&\therefore x=\frac{12}7\end{split}$
$\begin{split}&题目四：正数 a、b、c 满足 a^{\frac32}+b^{\frac32}+c^{\frac32}=1，\\&求证：\\&(1)abc\leqslant\frac19，\\&(2)\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}\leqslant\frac{1}{2\sqrt{abc}}\\\\&2022年高考文科压轴题，用初中数学知识居然也可以求解!\end{split}$
解题思路：乍一看，似乎难度较大，但是，只要熟练掌握换元法以及代数式转换的技巧，求解起来的难度并不是太大，充其量只是初中数学竞赛题目的难度！
$\begin{split}证明：(一)\\&\because算术平均数大于等于几何平均数：\frac{a+b+c}{3}\geqslant \sqrt[3]{abc}\\&\therefore 1= a^{\frac32}+b^{\frac32}+c^{\frac32}\geqslant 3\sqrt[3]{a^\frac32\cdot b^\frac32\cdot c^\frac32}=3\sqrt{abc}\\&\therefore \sqrt{abc}\leqslant\frac13\Rightarrow abc\leqslant\frac19\\&\therefore第一问的难度其实并不大，重点就是考察算术平均数大于等于几何平均数这个知识点罢了。\end{split}$
$\begin{split}证明：(二)\\&设a=m^2，b=n^2，c=t^2，(m、n、t均大于0)\\&则第二问可以转换为证明：\frac{t^2}{m^2+n^2}+\frac{m^2}{n^2+t^2}+\frac{n^2}{m^2+t^2}\leqslant \frac1{2mnt}\ldots(1)\\&\because m^3+n^3+t^3=1，a、b、c 均为正数\\&\therefore(m-n)^2\geqslant0\Rightarrow m^2+n^2\geqslant2mn\Rightarrow \frac{1}{m^2+n^2}\leqslant\frac1{2mn}\\&\therefore \frac{1}{n^2+t^2}\leqslant\frac1{2nt}，\frac{1}{m^2+t^2}\leqslant\frac1{2mt}\\&\therefore (1)可转换为：\frac{t^2t}{(m^2+n^2)t}+\frac{m^2m}{(n^2+t^2)m}+\frac{n^2n}{(m^2+t^2)n}\leqslant \frac1{2mnt}\cdots(2)\\&\therefore(2)左边\leqslant \frac{t^3}{2mn\cdot t}+\frac{m^3}{2nt\cdot m}+\frac{n^3}{2mt\cdot n}=\frac{t^3+m^3+n^3}{2mnt}=\frac1{2mnt}\\&\therefore \frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}\leqslant\frac1{2\sqrt{abc}}\\\\&\therefore 看起来是高考文科的压轴题目，其实也就是初中数学竞赛水平！！\end{split}$
题目五：若$x^2+y^2=9$，求$\sqrt{x^2-6x+9}+\sqrt{xy-4x+3y-12}$的值。初中数学竞赛压轴题，学霸也觉得无从下手！
解题思路：看起来这道题目似乎并不是很难，代数式也很容易化简，但是，化简代数式之后，如何求值呢？不是太简单，这道题目的关键是如何充分利用已知条件，通过已知条件来挖掘其中的深邃意义，如果无法充分利用已知条件，完整求解似乎不是那么容易！
$\begin{split}\text{解：}\\&原式=\sqrt{(x-3)^2}+\sqrt{(y-4)(x+3)}=\vert x-3\vert+\sqrt{(x+3)(y-4)}\\&\therefore \text{到这一步似乎不难，但是接下来，如何求值呢？似乎无从下手了！}\\&\because x^2+y^2=9\\&\therefore x^2=9-y^2\geqslant0\Rightarrow y^2\leqslant9\Rightarrow -3\leqslant y\leqslant3\\&\text{同理：$-3\leqslant x\leqslant3$}\\&\therefore y-4\lt0，x+3\geqslant0\\&\because (x+3)(y-4)\geqslant0\\&\therefore (x+3)(y-4)=0，只能等于0才能符合条件！\\&x=-3\\&\bbox[yellow,5pt,border:2px solid red]{原式=6}\\&\bbox[yellow,5pt,border:2px solid blue]{\text{另外，如果学过高中解析几何，$x^2+y^2=9$其实就是一个圆的方程！}}\end{split}$
题目六：已知$x、y$均为整数，$15x^2y^2=35x^2-3y^2+412$，求$xy$的值。数学竞赛压轴题，需要有缜密的思路。
解题思路：由于有两个变量，无法直接把$x、y$解出来，只能另辟蹊径了，类似题目可以设法将条件等式左边通过因式分解变成两个代数式相乘，等于一个常数的形式，然后利用$x、y$均为整数的条件进行判断，然后求出$x和y$的乘积值。
$\begin{split}解：\\&\text{由已知条件可知：}5x^2(3y^2-7)+3y^2-7=412-7\\&(5x^2+1)(3y^2-7)=405=3^4\cdot5，关键是需要把405这个数分解成几个质数的乘积！然后判断求解！\\&根据已知条件及整数的性质：\\&5x^2+1不能被5整除；3y^2-7不能被3整除(这一步利用了整数的性质以及整数表示法来判断整除性)\\&\therefore \begin{cases}5x^2+1\gt0\\3y^2-7\gt0\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}5x^2+1=3^4\\3y^2-7=5\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}5x^2=80\\3y^2=12\end{cases}\\&\therefore 5x^2\cdot3y^2=960\Rightarrow x^2y^2=64\\&\therefore xy=\pm8\end{split}$
拓展思维题：$\bbox[yellow,5pt,border:2px solid red]{求指数方程的正整数解：4^x-36^y=28}$
解题思路：类似方程有两个未知数，必须通过已知条件进行求解，根据整数的性质：整数的整数次方一定还是整数；偶数的整数次方还是偶数；奇数的整数次方还是奇数！两个奇数的乘积还是奇数！
$\begin{split}解：\\&原方程可以变换为：(2^x)^2-(6^y)^2=28\\&(2^x+6^y)(2^x-6^y)=28\\&\because 根据已知条件以及整数的性质，2^x\pm6^y均为正偶数且2^x+6^y\gt2^x-6^y\\&\because由于28唯一可以分解成两个偶数乘积的方式为2\times14\\&\therefore \begin{cases}2^x+6^y=14\\\\2^x-6^y=2\end{cases}\Rightarrow\bbox[yellow,5pt,border:2px solid red]{x=3，y=1}\end{split}$
《“中学数学压轴题集锦（一）”》 有 1 条评论
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