题目一：加拿大全国数学竞赛题，$求出所有x满足：x=\Big(x-\dfrac1x\Big)^{\dfrac12}+\Big(1-\dfrac1x\Big)^{\dfrac12}$
解题思路：乍一看，似乎不难，但是，做起来才发现，化简起来，似乎有又不知道如何下手。这道题目，最关键的是如何改写原方程，以及如何确定x的取值范围。
$\begin{split}\text{解：}\\&\text{原方程可以改写为：}x=\sqrt{x-\dfrac1x}+\sqrt{1-\dfrac1x}\\&\therefore x\gt0(x\ne0)，1-\dfrac1x\geqslant0\\&\because 当x=1时，原方程不成立\\&\therefore x\gt1\\&\text{原方程可以改写为：}\sqrt{1-\dfrac1x}=x-\sqrt{x-\dfrac1x}\\&\Rightarrow 1-\dfrac1x=x^2-2x\sqrt{x-\dfrac1x}+(x-\dfrac1x)\\&\Rightarrow (x^2-1)-2\sqrt{x\cdot(x^2-1)}+x=0\\&\Rightarrow \Big(\sqrt{x^2-1}\Big)^2-2\sqrt{x}\cdot\sqrt{x^2-1}+\Big(\sqrt{x}\Big)^2\\&\Rightarrow \Big(\sqrt{x^2-1}-\sqrt{x}\Big)^2=0\\&\therefore \sqrt{x^2-1}=\sqrt{x}\Rightarrow x^2-1=x\\&\therefore x^2-x-1=0\\&\therefore x_{1,2}=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}\\&\because x\gt1\\&\therefore x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\\&\bbox[yellow,6pt,border:2px solid red]{\text{加拿大的数学竞赛题总体来说，难度一般，跟美国的数学竞赛水平相当！}}\end{split}$
题目二：土耳其全国数学竞赛题，已知$a、b、c\in \Bbb R^+，0\leqslant a\leqslant b\leqslant c，$证明：$(a+3b)(b+4c)(c+2a)\geqslant60abc$
解题思路：类似题目一般来说，需要用到算术平均数大于等于几何平均数定理，但是呢，需要拓展思维，三个数的算术平均数定理，并没有要求三个数是不同的，其中的两个数也可以相等。本题的另外一个关键环节是代数式变换技巧，不是太容易想到。
$\begin{split}\text{解：}\\&\text{拓展平均数定理可得：}\\&\begin{cases}a+b+b\geqslant 3\sqrt[3]{ab^2}\\b+c+c\geqslant 3\sqrt[3]{bc^2}\\c+a+a\geqslant3\sqrt[3]{ca^2}\end{cases}\Rightarrow (a+2b)(b+2c)(c+2a)\geqslant27abc\\&\because 0\leqslant a\leqslant b\leqslant c\\&\therefore (a+3b)(b+4c)(c+2a)=(a+\dfrac13b+\dfrac83b)(b+\dfrac23c+\dfrac{10}3c)(c+2a)\\&\geqslant(a+\dfrac13a+\dfrac83b)(b+\dfrac23b+\dfrac{10}3c)(c+2a)\\&=(\dfrac43a+\dfrac83b)(\dfrac53b+\dfrac{10}3c)(c+2a)\\&=\frac43\cdot(a+2b)\cdot\dfrac53\cdot(b+2c)(c+2a)\\&=\dfrac{20}9\cdot\left(27abc\right)=60abc\\&\bbox[yellow,6pt,border:2px solid red]{\text{没有想到吧？土耳其的数学竞赛题居然这么难，怪不得欧洲自古以来出了那么多数学泰斗呢！}}\end{split}$
题目三：俄罗斯莫斯科市数学奥林匹克竞赛题，$a、b\in \Bbb R^+，a+b=1，$证明：$\left(a+\dfrac1a\right)^2+\left(b+\dfrac1b\right)^2\geqslant\dfrac{25}{2}$
解题思路：乍一看，还是需要用到算术平均数大于等于几何平均数定理，但实际解题过程 ，还是需要进行思维拓展，然后再进行代数式变换，最终求解不等式。
$\begin{split}\text{解：}\\&\text{由算术平均数大于等于几何平均数的不等式定理可知：}\\&\dfrac{x+y}{2}\geqslant \sqrt{xy}\Rightarrow \dfrac{x^2+y^2}{2}\geqslant xy\Rightarrow x^2+y^2\geqslant2xy\\&\therefore 2(x^2+y^2)\geqslant x^2+y^2+2xy=(x+y)^2\\&\therefore \dfrac{x^2+y^2}{2}\geqslant \Big(\dfrac{x+y}{2}\Big)^2\\&\text{令$x=a+\dfrac1a，y=b+\dfrac1b$}\\\\&\left(a+\dfrac1a\right)^2+\left(b+\dfrac1b\right)^2\geqslant2\cdot \left(\dfrac{a+\dfrac1a+b+\dfrac1b}{2}\right)^2=\dfrac12\cdot\left(1+\dfrac{a+b}{ab}\right)=\dfrac12\cdot\left(1+\dfrac{1}{ab}\right)\\&\because \dfrac{a+b}{2}\geqslant\sqrt{ab}\Rightarrow \left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\geqslant ab，已知：a+b=1\\&\therefore ab\leqslant\left(\dfrac12\right)^2=\dfrac14\Rightarrow ab的最小值为\dfrac14\\&\therefore \left(a+\dfrac1a\right)^2+\left(b+\dfrac1b\right)^2\geqslant\dfrac12\cdot(1+4)^2=\dfrac{25}{2}\\&\therefore \text{仅当}a=b=\dfrac12\text{的时候，等号成立。}\\&\bbox[yellow,6pt,border:2px solid red]{\text{俄罗斯的数学竞赛难度也不低哦！要知道圣彼得堡之前是数学大神欧拉生活的地方！}}\end{split}$
题目四：中国奥林匹克数学竞赛题，化简：$\sqrt[4]{7+\sqrt{48}}$
解题思路：既然是数学竞赛题目，当然需要一定的技巧。具体到这道题目，需要用到换元法，而且需要用到巧妙的代换进行降次才能化简。
$\begin{split}\text{解：}\\&\text{设$\quad a=\sqrt[4]{7+\sqrt{48}}\quad(a\gt0)$}\\&\therefore \dfrac1a=\dfrac{1}{\sqrt[4]{7+\sqrt{48}}}\cdot\dfrac{\sqrt[4]{7-\sqrt{48}}}{\sqrt[4]{7-\sqrt{48}}}=\sqrt[4]{7-\sqrt{48}}\\\\&\therefore a^4=7+\sqrt{48}，\dfrac1{a^4}=7-\sqrt{48}\Rightarrow a^4+\dfrac1{a^4}=14，a^4-\dfrac1{a^4}=2\sqrt{48}=8\sqrt3\\\\&\therefore \left(a^2+\dfrac1{a^2}\right)^2=a^4+\dfrac1{a^4}+2=16\Rightarrow a^2+\dfrac1{a^2}=4(a^2\geqslant0)\\&\therefore\left(a+\dfrac1a\right)^2=a^2+\dfrac1{a^2}+2=4+2=6\Rightarrow a+\dfrac1a=\sqrt6(a\gt0)\\\\&\therefore \left(a^2+\dfrac1{a^2}\right)\left(a^2-\frac1{a^2}\right)=a^4-\dfrac1{a^4}=8\sqrt3\Rightarrow a^2-\dfrac1{a^2}=2\sqrt3\\&\therefore \left(a+\dfrac1a\right)\left(a-\dfrac1a\right)=a^2-\dfrac1{a^2}=2\sqrt3\Rightarrow a-\dfrac1a=\dfrac{2\sqrt3}{\sqrt6}=\sqrt2\\\\&\therefore \begin{cases}a+\dfrac1a=\sqrt6\\\\a-\dfrac1a=\sqrt2\end{cases}\Rightarrow 2a=\sqrt6+\sqrt2\Rightarrow a=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{2}\\\\&\therefore \sqrt[4]{7+\sqrt{48}}=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{2}\\&\bbox[yellow,6pt,border:2px solid red]{\text{这道题目非常需要技巧，既有换元，又利用一个数与倒数的完全平方进行降次，难度还是比较大的！}}\end{split}$
$\bbox[yellow,6pt,border:2px solid red]{拓展思维题目：中国南京大学自主招生题，化简：\sqrt[3]{\sqrt5+2}}$
解题思路：这种高次开根号化简题，通常应该使用换元法化简，观察根号下面的数字，可以想到倒数与原数可能有些关系。
$\begin{split}\text{解：}\\&\text{设：}a=\sqrt[3]{\sqrt5+2}\gt0\Rightarrow a^3=\sqrt5+2\\&\text{则：}\dfrac1a=\dfrac1{\sqrt[3]{\sqrt5+2}}=\dfrac1{\sqrt[3]{\sqrt5+2}}\cdot\dfrac{\sqrt[3]{\sqrt5-2}}{\sqrt[3]{\sqrt5-2}}=\sqrt[3]{\sqrt5-2}\Rightarrow \dfrac1{a^3}=\sqrt5-2\\&a^3-\dfrac1{a^3}=\left(a-\dfrac1a\right)\left(a^2+1+\dfrac1{a^2}\right)=\left(a-\dfrac1a\right)\left[\left(a-\dfrac1a\right)^2+3\right]=4\\&\text{令：}a-\dfrac1a=t\Rightarrow t(t^2+3)=4\Rightarrow t^3+3t-4=0\Rightarrow t^3-1+3t-3=0\\&\Rightarrow (t-1)(t^2+t+4)=0\\&\therefore t-1=0或t^2+t+4=0\\&\therefore t=1(t^2+t+4=0的\Delta=-15\lt0，无实数根)\\&\therefore a-\dfrac1a=1\Rightarrow a^2-a-1=0\\&\therefore a=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}\\&\because a\gt0\\&\therefore \text{原式}=a=\dfrac{1+\sqrt5}{2}\\&\bbox[yellow,6pt,border:2px solid red]{\text{毕竟是南大自主招生题目，难度还是比较大，没想到初中学霸也能作对！}}\end{split}$
题目五：美国普特南大学生数学竞赛题，用初中的方法同样可以求解。化简：$\displaystyle\sqrt[8]{2207-\cfrac1{2207-\cfrac1{2207-\cfrac1{2207\cdots}}}}$
解题思路：对于类似的无限循环分数化简，通常使用换元法进行求解，鉴于这里是开8次方，需要进行两次换元，然后多次降次进行求解。
$\begin{split}\text{解：}\\&\text{设：}t=2207-\cfrac1{2207-\cfrac1{2207-\cfrac1{2207\cdots}}}\\&\therefore t\gt1\Rightarrow t=2207-\dfrac1t\\&\text{设：}a=\sqrt[8]t\geqslant1\Rightarrow t=a^8\\&\therefore a^8=2207-\dfrac1{a^8}\Rightarrow a^8+\dfrac1{a^8}=2207\\&\because \left(a^4+\dfrac1{a^4}\right)^2=a^8+2+\dfrac1{a^8}=2207+2=47^2\\&\therefore a^4+\dfrac1{a^4}=47\gt0\\&\text{同理可得：}\left(a^2+\dfrac1{a^2}\right)^2=a^4+2+\dfrac1{a^4}=49=7^2\Rightarrow a^2+\dfrac1{a^2}=7\\&\qquad\qquad\left(a+\dfrac1a\right)^2=a^2+2+\dfrac1{a^2}=9=3^2\Rightarrow a+\dfrac1a=3\\&\therefore a^2-3a+1=0\Rightarrow a=\dfrac{3\pm\sqrt5}{2}\\&\because a\gt1\\&\therefore \text{原式=}a=\dfrac{3+\sqrt5}{2}\\&\bbox[yellow,6pt,border:2px solid red]{\text{类似化简无限循环的题目，通常使用换元法，然后观察结果，再设法逐步降次后求解！}}\end{split}$
题目六：法国的数学竞赛题，方法比较巧妙。解方程：$\sqrt{a-1}+\sqrt{3a-5}+\sqrt{4a-7}=4a-5$
解题思路：类似题目，通常考虑换元法，但是如何换元呢？需要思考一番，方法得当则非常简单，否则，会陷入复杂的计算之中，法兰西数学一点也不浪漫！
$\begin{split}\text{解：}\\&令：x=\sqrt{a-1}，y=\sqrt{3a-5}，z=\sqrt{4a-7}\\&\therefore x+y+z=4a-5\\&x^2+y^2+z^2=8a-13=2(4a-5)-3\quad\text{这一步是关键，巧妙！}\\&\therefore x^2+y^2+z^2=2(x+y+z)-3\Rightarrow x^2+y^2+z^2-2x-2y-2z+3=0\\&\therefore (x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=0\\&\therefore x=y=z=1\Rightarrow \sqrt{a-1}=1\\&\therefore a=2\\&\bbox[yellow,6pt,border:2px solid red]{\text{法国这道数学竞赛题虽说难度不大，但是也需要方法得当才行，否则，也容易掉进陷阱！}}\end{split}$
《 “世界各国中学数学竞赛题集锦（三）” 》 有 2 条评论
$\begin{split}&\bbox[5pt,border:3px solid blue]{\text{化合物与氧气的反应}}\\&\text{10.一氧化碳在氧气中燃烧：}\ce{2CO + O2 ->[点燃] 2CO2}\\&\text{11.甲烷在空气中燃烧：}\ce{CH4 + 2O2 ->[点燃] CO2 + 2H2O}\\&\text{12.酒精在空气中燃烧：}\ce{2C2H5OH + 3O2 ->[点燃] 2CO2 + 3H2O}\end{split}$
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