题目一：美国中学数学竞赛题目，解方程$(x+2)^4+(x-2)^4=256$
解题思路：一般来说，初中数学最多就是立方公式，这里是四次方，如果强行展开，也是可以化简之后求解的，这道题目其实考察的就是如何通过把$(x\pm2)^2$视为一个整体进行化简，难度其实并不大！
$\begin{split}\text{解：}\\&\text{原方程可以转换为：}\\&\Big[(x+2)^2-(x-2)^2\Big]^2+2(x+2)^2\cdot(x-2)^2=256\\&\Big\{\big[(x+2)+(x-2)\big]\big[(x+2)-(x-2)\big]\Big\}^2+2\Big[(x+2)(x-2)\Big]^2=256\\&(8x)^2+2(x^2-4)^2=256\\&64x^2+2(x^4-8x^2+16)=256\\&64x^2+2x^4-16x^2+32=256\\&2x^4+48x^2-224=0\\&x^4+24x^2-112=0\\&\Rightarrow(x^2+28)(x^2-4)=0\\&\because x^2+28\gt0\\&\therefore x^2-4=0\\&\therefore x^2=4\\&\therefore x=\pm2\end{split}$
$\bbox[yellow,6pt,border:2px solid red]{拓展思维题目：美国数学竞赛题目}$，已知$x_1、x_2、x_3\cdots x_{123}、x_{124}$均为实数，$4^{x_1}=5、5^{x_2}=6、6^{x_3}=7\ldots126^{x_{123}}=127、127^{x_{124}}=128$，求$x_1\cdot x_2\cdot x_3\cdots x_{123}\cdot x_{124}$的值。
解题思路：乍一看好像挺复杂，其实就是替换再替换，然后利用指数的性质进行求解。从这里可以看出，美国中学生的数学水平的确不高，即使是竞赛题，难度也不算高，比中国的竞赛题目简单多了，当然，这个题目还可以用高中的对数知识求解。
$\begin{split}\text{解法一：}\\&\because 127^{x_{124}}=128\\&\therefore (126^{x_{123}})^{x_{124}}\\&\Rightarrow \Big(\big(125^{x_{122}}\big)^{x_{123}}\Big)^{x_{124}}=128\\&\Rightarrow \Bigg(\bigg(\Big(\big(4^{x_1}\big)^{x_2}\Big)^{x_3}\bigg)\cdots\Bigg)^{x_{124}}=128\\&\therefore 4^{x_1\cdot x_2\cdot x_3\cdots x_{124}}=128\\&\therefore 2^{2{x_1\cdot x_2\cdot x_3\cdots x_{124}}}=2^7\\&\therefore 2{x_1\cdot x_2\cdot x_3\cdots x_{124}}=7\\&\therefore x_1\cdot x_2\cdot x_3\cdots x_{124}=\dfrac72\end{split}$
$\begin{split}\text{解法二：}\\&\text{利用对数知识进行求解过程更为简单明了！}\\&4^{x_1}=5\Rightarrow x_1=log_45=\dfrac{log5}{log4}\\&5^{x_2}=6\Rightarrow x_2=log_56=\dfrac{log6}{log5}\\&\cdots\cdots \\&126^{x_{123}}=127\Rightarrow x_{123}=log_{126}{127}=\dfrac{log127}{log126}\\&127^{x_{124}}=128\Rightarrow x_{124}=log_{127}{128}=\dfrac{log{128}}{log{127}}\\&\therefore x_1\cdot x_2\cdot x_3\cdots x_{124}=\dfrac{log5}{log4}\cdot\dfrac{log6}{log5}\cdot\dfrac{log7}{log6}\cdots\dfrac{log127}{log126}\cdot\dfrac{log128}{log127}\\&=\dfrac{log128}{log4}=log_4{128}=log_4{4^{\frac72}}=\dfrac72\end{split}$
题目二：印度中学数学竞赛题目，已知$a、b、c$均为实数，且$a+b+c=0，a^3+b^3+c^3=0$，求$a^{15}+b^{15}+c^{15}$的值。
解题思路：如果这道题是填空题的话，用拉玛努金瞪眼法可以一眼就看出来，等于0，但是这是计算题，需要步骤，这就有较大的难度了。不过呢，可以想办法去接近拉玛努金瞪眼法得出来的结果，就是知道结果，设法去实现而已！
$\begin{split}\text{解：}\\&\because a+b+c=0\\&\therefore a=-(b+c)\\&\text{取立方可得：}a^3=-(b^3+3b^2c+3bc^2+c^3)\Rightarrow a^3+b^3+c^3=-(3b^2c+3bc^2)\\&\therefore bc(b+c)=0\\&\therefore b=0或c=0或b=-c\\&\text{可以分情况进行讨论：}\\&(1)b=0\Rightarrow a+c=0\Rightarrow a=-c\\&\therefore a^{15}+b^{15}+c^{15}=0\\&(2)c=0\Rightarrow a+b=0\Rightarrow a+b=0\Rightarrow a=-b\\&\therefore a^{15}+b^{15}+c^{15}=0\\&(3)b=-c\Rightarrow a=0\\&\therefore a^{15}+b^{15}+c^{15}=0\\&\therefore \text{综上所述：}a^{15}+b^{15}+c^{15}=0\end{split}$
题目三：清华大学自主招生题目，$\text{因式分解：}(a^3+a^2+a+1)^2-a^3$
解题思路：乍一看，全部展开多项式进行因式分解；仔细观察，$\bbox[yellow,5pt,border:2px solid red]{a^2+a+1}$是立方差公式中的一项，能否把它视为一个整体进行展开呢？这样可以降低展开多项式的计算量，这就是这道因式分解题的关键和难点。这道因式分解，看似简单，实际需要一定技巧，不愧是清华大学的自主招生题目啊！
$\begin{split}\text{解：}\\&\text{原式}=(a^3)^2+2a^3(a^2+a+1)+(a^2+a+1)^2-a^3\\&=a^6-a^3+2a^3(a^2+a+1)+(a^2+a+1)^2\\&=a^3(a^3-1)+2a^3(a^2+a+1)+(a^2+a+1)^2\\&=a^3(a-1)(a^2+a+1)+2a^3(a^2+a+1)+(a^2+a+1)^2\\&=(a^2+a+1)(a^4-a^3+2a^3+a^2+a+1)\\&=(a^2+a+1)(a^4+a^3+a^2+a+1)\end{split}$
题目四：华罗庚数学竞赛题目，化简：$\sqrt{2\sqrt{xy}-x-y}\qquad (x\ne y)$
解题思路：乍一看，根号下面就是一个完全平方公式，直接化简去根号就可以化简。实际计算中发现却是无意义，这该如何化简呢？还是需要根据x、y的定义域分情况进行讨论！
$\begin{split}\text{解：}\\&\text{(1)当$x\gt0，y\gt0$时：}\\&\text{原式}=\sqrt{2\sqrt{xy}-(\sqrt{x})^2-(\sqrt{y})^2}=\sqrt{-(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2}\\&\therefore \text{负数开根号无意义！}\\\\&\text{(2)当$x\leqslant0，y\leqslant0$时：}\\&\text{原式}=\sqrt{2\sqrt{xy}+(\sqrt{-x})^2+(\sqrt{-y})^2}=\sqrt{(\sqrt{-x}+\sqrt{-y})^2}=\sqrt{-x}+\sqrt{-y}\\&\therefore \text{类似题目，看似简单，实则陷阱挺多，考察基础知识，不小心也容易出错！}\end{split}$
题目五：北京市初中数学竞赛题目，解方程：$x^3+x^2=150$
解题思路：这个方程比较简单，用拉玛努金瞪眼法可以求出来$x=5$是方程的一个根，知道了这个根，那么移项后$x^3+x^2-150$一定包含$x-5$这个因子，类似题目可以使用长除法或者凑立方、平方的方式求解。
$\begin{split}\text{解：}\\&\text{观察发现，$x=5$是方程的一个根，那么原方程一定包含$x-5$的因子，用长除法进行因式分解：}\\&\begin{array}{lll}
{\phantom{00000} x^2\phantom{0000}+6x\phantom{000}+30} &\\[-3pt]
{x-5} \enclose{longdiv}{x^3+x^2\phantom{000}-150\phantom{000}}\kern-.2ex \\[-3pt]
\phantom{00000}\underline{x^3-5x^2\phantom{00000000000}} & \\[-3pt]
\phantom{000000000}6x^2\phantom{0} & \\[-3pt]
\phantom{000000000}\underline{6x^2-30x\phantom{0000000}} &\\[-3pt]
\phantom{000000000000000}30x -150&\\[-3pt]
\phantom{000000000000000}\underline{30x-150} & \\[-3pt]
\phantom{000000000000000000000}0
\end{array}\\&\therefore (x-5)(x^2+6x+30)=0\\&\therefore x-5=0或者x^2+6x+30=0\\&\because x^2+6x+30=0\text{的判别式$\Delta=6^2-4\times1\times30=-84\lt0$，无实数根！}\\&\therefore \bbox[yellow,5pt,border:2px solid red]{\text{综上所述，原方程只有一个实数根：}x=5}\end{split}$
题目六：俄罗斯初中数学竞赛题，已知$x_0\gt x_1\gt x_2\gt x_3\gt \cdots \gt x_n\in R$，证明：$x_0+\dfrac{1}{x_0-x_1}+\dfrac{1}{x_1-x_2}+\dfrac{1}{x_2-x_3}+\cdots+\dfrac{1}{x_{n-1}-x_n}\geqslant x_n+2n$
解题思路：乍一看似乎比较复杂，但是实际就是考察算术平均数大于等于几何平均数定理。只要知道这个定理，这道题也非常简单！看来，俄罗斯的初中数学竞赛题目也没有中国的题目难啊！
$\begin{split}\text{解：}\\&根据已知条件，对于任意自然数i=0、1、2、3、n-1、n都有：\\&x_{n-1}-x_n\gt0\\&\text{根据平均数定理：$\dfrac{a+b}{2}\geqslant\sqrt{ab}$}\Rightarrow{a+b}\geqslant2\sqrt{ab}\\&\therefore (x_{n-1}-x_n)+\dfrac{1}{x_{n-1}-x_n}\geqslant2\sqrt{(x_{n-1}-x_n)\cdot\dfrac{1}{x_{n-1}-x_n}}=2\\&\therefore (x_0-x_1)+\dfrac{1}{x_0-x_1}+(x_1-x_2)+\dfrac{1}{x_1-x_2}+(x_2-x_3)+\dfrac{1}{x_2-x_3}\\&+\cdots+(x_{n-1}-x_n)+\dfrac{1}{x_{n-1}-x_n}\geqslant2n\\&\text{整理后：}(x_0-x_1)+(x_1-x_2)+(x_2-x_3)+\cdots+(x_{n-1}-x_n)+\\&\dfrac{1}{x_0-x_1}+\dfrac{1}{x_1-x_2}+\dfrac{1}{x_2-x_3}+\cdots+\dfrac{1}{x_{n-1}-x_n}\geqslant2n\\&\therefore x_0+\dfrac{1}{x_0-x_1}+\dfrac{1}{x_1-x_2}+\dfrac{1}{x_2-x_3}+\cdots+\dfrac{1}{x_{n-1}-x_n}\geqslant x_n+2n\\&\text{这道题目其实就是考了算术平均数大于等于几何平均数定理，}\\&\text{居然是俄国的数学竞赛题，看来还是中国孩子水平高！}\end{split}$
$\bbox[yellow,5pt,border:2px solid red]{\text{拓展思维：捷克数学竞赛题，}证明：对于a、b、c\in\Bbb R^+，\dfrac{a}{b+2c}+\dfrac{b}{c+2a}+\dfrac{c}{a+2b}\geqslant1}$
解题思路：类似题目一般来说，需要用到算术平均数大于等于几何平均数定理，但是如何进行变换呢？需要一定技巧，对于这道题目可以考虑使用换元法进行代数变换，进而使用平均数定理。
$\begin{split}\text{解：}\\&\text{平均数定理：}\dfrac{x_1+x_2+x_3+\ldots+x_n}{n}\geqslant\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot x_3\cdots x_n}\\&\text{令}\begin{cases}x=b+2c\\y=c+2a\\z=a+2b\end{cases}\qquad\text{解方程可得}\Rightarrow\begin{cases}a=\dfrac19(4y+z-2x)\\b=\dfrac19(4z+x-2y)\\c=\dfrac19(4x+y-2z)\end{cases}\\&\because\dfrac{a}{b+2c}+\dfrac{b}{c+2a}+\dfrac{c}{a+2b}=\dfrac{4y+z-2x}{9x}+\dfrac{4z+x-2y}{9y}+\dfrac{4x+y-2z}{9z}\\&=\dfrac19\Big(\dfrac{4y}{x}+\dfrac{z}{x}-2+\dfrac{4z}{y}+\dfrac{x}{y}-2+\dfrac{4x}{z}+\dfrac{y}{z}-2\Big)\\&=\dfrac19\Bigg[(\dfrac xy+\dfrac yx)+(\dfrac yz+\dfrac zy)+(\dfrac zx+\dfrac xz)+3\times(\dfrac yx+\dfrac zy+\dfrac xz)-6\Bigg]\\&\geqslant\dfrac19\Bigg(2\sqrt{{\dfrac xy}\cdot{\dfrac yx}}+2\sqrt{{\dfrac yz}\cdot{\dfrac zy}}+2\sqrt{{\dfrac zx}\cdot{\dfrac xz}}+3\times3\cdot\sqrt[3]{\dfrac yx\cdot\dfrac zy\cdot\dfrac xz}-6 \Bigg)\\&=\dfrac19\cdot(2+2+2+9-6)=1\\&\therefore \dfrac{a}{b+2c}+\dfrac{b}{c+2a}+\dfrac{c}{a+2b}\geqslant1\\\\&\bbox[yellow,5pt,border:2px solid red]{捷克数学竞赛 这道题目还是挺有难度的，需要比较巧妙的变换技巧！}\end{split}$
《“世界各国中学数学竞赛题集锦（一）”》 有 1 条评论
算术平均数大于等于几何平均数：
$\dfrac{a+b+c}{3}\geqslant\sqrt[3]{abc}$
$a+b+c\geqslant 3\cdot\sqrt[3]{abc}$
拓展后：
$\dfrac{a+b+b}{3}\geqslant\sqrt[3]{ab^2}$
$a+2b\geqslant 3\cdot\sqrt[3]{ab^2}$