题目六：分解因式$a^5+b^5-(a+b)^5$。俄国初中考试题，谁说国外数学简单，这种因式分解也有些生猛！
  解题思路：这种题目看似生猛，其实技巧性并不是很强，主要考察公式记忆，不仅需要记住平方公式、立方公式、还需要记住四次方、五次方的相关公式，只要公式记得牢，代入即可。

$\begin{split}\text{解：}\\&{原式=}(a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4)-(a+b)(a+b)^4\\&=(a+b)\left[a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4-(a+b)^4\right]\\&=(a+b)\left[(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4)-(a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4)\right]\\&=(a+b)(-5a^3b-5a^2b^2-5ab^3)\\&=-5ab(a+b)(a^2+ab+b^2)\end{split}$


  $\bbox[yellow,8pt,border:2px solid red]{\text{拓展思维题：因式分解：}a^6+4a^3-1}$，这是一道比较难，但是解法巧妙的题目。
  解题思路：这种类型的因式分解，常见的方法都不行，无论是试探法、分组法都没有办法进行分解，这里需要使用因式分解的另外一种方法：求根法。先求出其中的一个因子，然后通过综合除法进行因式分解。

$\begin{split}\text{解：}\\&\text{设原式为方程：}(a^3)^2+4a^3-1=0\ldots(1)\\&\text{将$a^3$看成整体，可以求出：}a^3=-2\pm\sqrt5\\&假定x、y是原方程式(1)的两个根，则有：\begin{cases}x^3=-2+\sqrt5\\[2ex]y^3=-2-\sqrt5\end{cases}\Rightarrow x^3\cdot y^3=-1\Rightarrow xy=-1\ldots(2)\\&\because x^3+y^3=-4\Rightarrow x^3+y^3=(x+y)(x^2+y^2-xy)=(x+y)\left[(x+y)^2-3xy\right]\ldots(3)\\&令x+y=t，则(3)式换元后可得：t(t^2+3)=-4\ldots(4)\\&\because 通过试探法可以看出来t=-1是方程式(4)的一个根，也就是说(4)式左边一定包含t+1这个因子\\&\therefore t^3+3t+4=0\Rightarrow t^3+1+3t+3=0\Rightarrow (t+1)(t^2-t+1)+3(t+1)=0\\&\therefore (t+1)(t^2-t+4)=0\\&显然t^2-t+4=0的\Delta=-\sqrt{15}\lt0，无实根\\&\therefore t=-1\\&\therefore x+y=-1，xy=-1\\&\therefore x、y是方程a^2+a-1=0的两个根。\\&\because x、y同时也是(1)式方程的两个根\\&\therefore (1)式左边必然包含a^2+a-1这个因子。\\&\therefore通过综合除法，可得：原式=(a^2+a-1)(a^4-a^3+2a^2+a+1)\end{split}$