题目一：因式分解$x^{10}+x^2+1$，初中数学竞赛题，有难度。
解题思路：高次项是10，一般来说高次多项式的因式分解需要采用换元法降幂，千方百计利用立方和差公式、平方和差公式变形，然后分解。
$\begin{split}解：\\&设x^2=a\\&原式=a^5+a+1\\&=a^5-a^2+a^2+a+1\\&=a^2(a^3-1)+(a^2+a+1)\\&=a^2(a^3-1)+(a^2+a+1)\\&=a^2(a-1)(a^2+a+1)+(a^2+a+1)\\&=(a^2+a+1)(a^3-a^2+1)\\&\therefore原式=(x^4+x^2+1)(x^6-x^4+1)\\&=[(x^2+1)^2-x^2](x^6-x^4+1)\\&\therefore (x^2+x+1)(x^2-x+1)(x^6-x^4+1)\end{split}$
拓展题：因式分解$x^4-7x^2+1$，初中数学竞赛题目，看似简单，难倒学霸。
$\begin{split}解：\\&原式=(x^2)^2+1^2+2x^2-2x^2-7x^2\\&=(x^2+1)^2=9x^2\\&=(x^2+1)^2-(3x)^2\\&=(x^2+1+3x)(x^2+1-3x)\\&=(x^2+3x+1)(x^2-3x+1)\end{split}$
题目二：因式分解$\displaystyle(x^3+x^2+x+1)^2-x^3$，初中数学竞赛题目，难度极大。
解题思路：乍一看，可以展开后分解，但是通过观察发现，有平方、有立方，可以通过变换构造平方差、立方差公式，进而求解。
$\begin{split}解：\\&原式=(x^3+x^2+x+1)^2-1-(x^3-1)\\&=(x^3+x^2+x+1+1)(x^3+x^2+x+1-1)-(x-1)(x^2+x+1)\\&=(x^3+x^2+x+2)(x^3+x^2+x)-(x-1)(x^2+x+1)\\&=x(x^2+x+1)(x^3+x^2+x+2)-(x-1)(x^2+x+1)\\&=(x^2+x+1)(x^4+x^3+x^2+x+1)\end{split}$
题目三：因式分解$x^2-5x+1$，看似简单，会者寥寥。
解题思路：这是一个标准的二次多项式，可以采用通用的配方法分解因式。
$\begin{split}解：\\&原式=x^2-5x+\left(\frac{5}{2}\right)^2-\left(\frac52\right)^2+1\\&=\left(x-\frac52\right)^2-\frac{21}{4}\\&=\left(x-\frac52\right)^2-\left(\frac{\sqrt{21}}{2}\right)^2\\&=\left(x-\frac52+\frac{\sqrt{21}}{2}\right)\left(x-\frac52-\frac{\sqrt{21}}{2}\right)\\&=\left(x-\frac{5-\sqrt{21}}{2}\right)\left(x-\frac{5+\sqrt{21}}{2}\right)\end{split}$
题目四：因式分解$x^{222}-1$，90%的同学分解不彻底。
解题思路：采用平方差、立方差公式分解是多数同学的思路，但是90%的同学分解得不彻底，关键是对于$\displaystyle x^5-1=(x^4+x^3+x^2+x+1)$这种类似的公式可以拓展到$x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1)$
$\begin{split}解：\\&原式=\left(x^{111}\right)^2-1^2\\&=\left(x^{111}+1\right)\left(x^{111}-1\right)\\&=\left[\left(x^{37}\right)^3+1\right]\left[\left(x^{37}\right)^3-1\right]\\&=\left(x^{37}+1\right)\left(x^{74}-x^{37}+1\right)\left(x^{37}-1\right)\left(x^{74}+x^{37}+1\right)\\&=\left(x-1\right)\left(x^{36}+x^{35}+\cdots+x+1\right)\left(x^{37}+1\right)\left(x^{74}-x^{37}+1\right)\left(x^{74}+x^{37}+1\right)\end{split}$
题目五：因式分解$m^5n-9mn^5$，1980年的高考题，这题不得分，考大学有难度。
解题思路：还是设法使用平方差、立方差公式进行因式分解。
$\begin{split}解：\\&=mn\left(m^4-9n^4\right)\\&=mn\left[\left(m^2\right)^2-\left(3n^2\right)^2\right]\\&=mn(m^2+3n^2)(m^2-3n^2)\\&=mn(m^2+3n^2)\left[m^2-(\sqrt3n)^2\right]\\&=mn\left(m^2+3n^2\right)\left(m+\sqrt3n\right)\left(m-\sqrt3n\right)\end{split}$
题目六：因式分解$x^4-4x^2+36$，看似简单，难倒不少学生与家长。
解题思路：乍一看，可以把前两项组合成一个完全平方式，但是组合后发现无法继续分解了。这道题目的巧妙之处在于观察$36=6^2$，可以考虑增减一个二次项进行分解。
$\begin{split}解：\\&原式=\left(x^2\right)^2+12x^2+6^2-12x^2-4x^2\\&=(x^2+6)^2-16x^2\\&=(x^2+6)^2-(4x)^2\\&=(x^2+6+4x)(x^2+6-4x)\\&=(x^2+4x+6)(x^2-4x+6)\end{split}$
题目七：因式分解 $(a-b)^2(ab-2)-4$
解题思路：如果展开二次式则更复杂，只能另辟蹊径了，通过观察可以将$(a-b)^2$看成一个整体，通过变换先拆开再组合，进而分解因式。
$\begin{split}\text{解：}\\&\text{原式=}ab(a-b)^2-2(a-b)^2-4\\&=a(a-b)b(a-b)-2(a-b)(a-b)-4\\&\text{可以将$a-b$看作整体使用十字相乘法：}\\&\bbox[yellow,9pt,border:2px solid red]{\begin{cases}a(a-b)\qquad\qquad+2\\b(a-b)\qquad\qquad-2\end{cases}}\\&\text{最终结果原式=}\left[a(a-b)+2\right]\left[b(a-b)-2\right]\end{split}$
《 “因式分解技巧集锦（一）” 》 有 2 条评论
$\displaystyle完全平方公式：(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$
$\displaystyle平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
$\displaystyle完全立方公式：(a\pm b)^3=a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3$
$\displaystyle立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
$\displaystyle立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
这些公式非常重要！