题目一：解不等式$2+log_{\frac12}(5-x)+log_2{\frac1x}\gt0$。1993年高考数学题目，这题不得分，考大学有难度。
解题思路：充分利用对数的性质：零和负数没有对数，再利用对数的运算规则进行求解。
$\begin{split}\text{解：}\\&\text{依题意：}\because\begin{cases}5-x\gt0\\x\gt0\end{cases}\\&\therefore0\lt x\lt5\\&根据对数换底公式：原式左边=\log_24-log_2{(5-x)}+log_2{\frac1x}\\&\therefore \log_2{\frac{4}{(5-x)x}}\gt0=\log_21\\&\therefore \frac{4}{(5-x)x}\gt1\\&\therefore x^2-5x+4>0\\&\therefore (x-4)(x-1)\gt0\\&\therefore x\gt4或x\lt1\\&\therefore 0\lt x\lt1或4\lt x\lt5\end{split}$
题目二：解不等式$\sqrt{2x+5}\gt x+1$。1985年高考题，看似简单，满分不易。
解题思路：乍一看，题目似乎简单，但是稍不仔细，也可能失分，关键是考察集合的应用，基本概念不能模糊，否则，得满分不易。
$\begin{split}\text{解：}\\&\text{分两种情况：}\\&(一)\begin{cases}2x+5\geqslant0\\x+1\lt0\end{cases}\Rightarrow -\frac{5}{2}\leqslant x\lt -1\\&(二)\begin{cases}2x+5\geqslant0\qquad\quad\dots(1)\\x+1\geqslant0\qquad\quad\ldots(2)\\ \sqrt{2x+5}\gt x+1\ldots(3)\end{cases}\\&由(1)得：x\geqslant -\frac{5}{2}，由(2)得：x\geqslant-1\\&(3)式两边平方得：2x+5\geqslant(x+1)^2\Rightarrow2x+5\gt x^2+2x+1\Rightarrow x^2-4\lt0\\&\therefore -2\lt x\lt2\\&第二种情况的条件：-1\leqslant x\lt2\\&\therefore综上所述不等式的解集：-\frac{5}{2}\leqslant x\lt2\end{split}$
题目三：解方程$\displaystyle3^{\sqrt{5x-y}}+2^{\sqrt{y-5}}=2$。解指数方程，难倒一片。
解题思路：乍一看，指数方程，还有两个未知数，无从下手，实际上是需要从指数和根式的性质入手，用解不等式的思路求解方程，类似题目一定有特殊的成立条件，只要掌握方法，这类题目其实特别简单。
$\begin{split}\text{解：}\\&\because\sqrt{5x-y}\geqslant0，\sqrt{y-5}\geqslant0\\&\therefore 3^{\sqrt{5x-y}}\geqslant1，2^{\sqrt{y-5}}\geqslant1\\&\therefore3^{\sqrt{5x-y}}+2^{\sqrt{y-5}}\geqslant2\\&\therefore\text{方程成立的唯一条件就是：}3^{\sqrt{5x-y}}=2^{\sqrt{y-5}}=1\\&\therefore \begin{cases}\sqrt{5x-y}=0\\ \sqrt{y-5}=0\end{cases}\\&\therefore x=1，y=5 \end{split}$
题目四：不等式组$\begin{cases}5\leqslant2x-1\leqslant11\\[2ex] \qquad x\lt a\end{cases}$的正整数解有三个，求$a$的取值范围。中考常见题，看似简单，容易丢分。
解题思路：类似题目是中考常见题之一，考察数轴的应用尝试以及集合概念，看似简单，但稍一疏忽就容易丢分，所以，解这种题目一要仔细，二要概念清晰。
$\begin{split}解：\\[2ex]&5\leqslant2x-1\leqslant11\\[2ex]&6\leqslant2x\leqslant12\\[2ex]&3\leqslant x\leqslant6\\[2ex]&\therefore可以得出x有四个正整数解\\[2ex]&\because已知条件是有三个正整数解，所以a的取值在5和6之间：\\[2ex]&\begin{cases}a=5\Rightarrow x \lt 5\qquad ：只有3、4两个解，不符合已知条件 \\[2ex]a=6\Rightarrow x \lt 6\qquad ：有3、4、5三个解，符合已知条件\end{cases}\\[2ex]&\therefore a的取值范围是：5\lt a\leqslant6\end{split}$
题目五：实系数方程：$x^2+ax+b=0$有两个实数根$\alpha、\beta$，若$\lvert \alpha\rvert\lt2，\lvert \beta\rvert\lt2，\text{求证：}2\lvert a\rvert\lt4+b\quad$。1993年全国高考数学题，用初中知识居然也可以求证，不过，需要综合能力。
解题思路：乍一看，一元二次方程、实数根、绝对值，比较棘手，似乎无从下手，仔细分析需要求证的结论，相当于：$\pm2a\lt4+b$，由此想到一元二次函数的图像与取值关系。
$\begin{split}解：\\&\because依题意可知：\\& y=x^2+ax+b 函数的图像开口朝上，与x轴的两个交点位于(-2,2)之间，即-2\lt\alpha和\beta\lt2\\&根据一元二次函数的图像性质：\\&\begin{cases}y(-2)=(-2)^2+a(-2)+b\gt0\\[2ex]y(2)=2^2+2a+b\gt0\end{cases}\\&\therefore \begin{cases}2a\lt4+b\\[2ex]-2a\lt4+b\end{cases}\\&\therefore2\lvert a\rvert\lt4+b\end{split}$
题目六：比较大小$1.01^{100}\text{与}2$，哪个数字大？
解题思路：类似题目，一般有三种方法：(1)作差法：两数相减，看看差的正负；(2)两数相除，看看商是否大于1；(3)放缩法，把复杂的展开式放大，制造一个不等式，然后错位约分，最终比较大小。
$\begin{split}解：\\&1.01^{100}=\left(1+\frac1{100}\right)^{100}\\&\because1+\frac1{100}\gt 1+\frac1{101}\gt 1+\frac1{102}\gt 1+\frac1{103}\gt\cdots\gt 1+\frac1{199}\gt1\\&\therefore\left(1+\frac{1}{100}\right)^{100}\gt\underbrace{(1+\frac{1}{100})\times(1+\frac{1}{101})\times(1+\frac{1}{102})\times(1+\frac{1}{103})\times\cdots\times(1+\frac{1}{199})}_{100项}\\&=\underbrace{\frac{101}{100}\times\frac{102}{101}\times\frac{103}{102}\times\frac{104}{103}\times\cdots\times\frac{200}{199}}_{100项}\\&=\underbrace{\frac{\color{red}\bcancel{101}}{100}\times\frac{\color{red}\bcancel{102}}{\color{red}\bcancel{101}}\times\frac{\color{red}\bcancel{103}}{\color{red}\bcancel{102}}\times\frac{\color{red}\bcancel{104}}{\color{red}\bcancel{103}}\times\cdots\times\frac{200}{\color{red}\bcancel{199}}}_{100项}=\frac{200}{100}=2\\&\therefore 1.01^{100}>2\end{split}$
拓展题：华为公司面试题（3分钟）：比较$6^{93}和9^{63}$大小。
解题思路：类似幂的比较大小，通常采用作商法，通过两数相除，判断商是否大于1来确定大小。
$\begin{split}解：\\&\frac{6^{93}}{9^{63}}=\frac{6^{63}\times6^{30}}{9^{63}}=\frac{6^{63}\times6^{30}}{(6\times1.5)^{63}}=\frac{6^{30}}{1.5^{63}}=\frac{(4\times1.5)^{30}}{1.5^{30}\times1.5^{33}}\\&=\frac{4^{30}}{1.5^{33}}=\frac{2^{60}}{1.5^{33}}\\&\because 2\gt1.5，60\gt33\therefore \frac{2^{60}}{1.5^{33}}\gt1\\&\therefore 6^{93}\gt9^{63}\end{split}$
《 “初中数学解不等式技巧集锦” 》 有 2 条评论
均值不等式：
$a,b\in R^+(R^+表示正实数)$，
那么$\bbox[yellow,5pt,border:2px solid red]{\displaystyle\frac{2}{\displaystyle\frac1a+\frac1b}\leqslant\sqrt{ab}\leqslant\frac{a+b}{2}\leqslant\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}}$
当且仅当$a=b$时，所有等号成立。
其中：$\displaystyle\frac{a+b}{2}叫做算术平均数；\sqrt{ab}叫做几何平均数；$
$\sqrt{\displaystyle\frac{a^2+b^2}{2}}叫做平方平均数；\displaystyle\frac{2}{\displaystyle\frac1a+\frac1b}叫做调和平均数。$
$\begin{split}&用LaTex实现的表格:\\&\begin{array}{|c|l|c|r|}\hline n&\text{Left}&\text{Center}&\text{Right}\\ \hline 1&0.24&1&125\\ \hline 2&-1&189&-8\\ \hline 3&-20&2000&\bbox[yellow,5pt,border:2px solid red]{e^{i\pi}+1}\\ \hline \end{array}\end{split}$