题目一：解方程$2\sqrt{x-3}+6=x$，1977年高考题，看似简单，但有陷阱。
解题思路：这个方程比较简单，很容易求解，但是不能仅仅得出解，必须代入原方程进行验算。
$\begin{split}解：\\&原方程变换：\\&2\sqrt{x-3}=x-6，\\&两边同时平方可得：\\&4(x-3)=(x-6)^2\ldots(1)\\&\therefore 4x-12=x^2-12x+36\Rightarrow x^2-16x+48=0\\&\therefore(x-12)(x-4)=0\\&\therefore x_1=12，x_2=4\\&到这里，不能视为解题结束，尽管将x_1,x_2代入(1)式进行验算，没有错误，但是将x_2=4代入原方程，则不成立。\\&所以本题正解：x=12\end{split}$
题目二：解方程$\displaystyle\sqrt{a-\sqrt{a+x}}=x$，美国数学竞赛题目，解根式方程，只有1%的超级学霸才能够解出来。
解题思路：乍一看，高次根式方程嘛，去根号、换元呗，但是仔细一看，去根号后是四次方程，还是没有办法求解，于是，一个非常有创意的方法应运而生，换元后，求解未知数是$a$的方程。
$\begin{split}解：\\&依题意可得：x\geqslant0（负数无法开平方，这是前提）\\&两边平方：a-\sqrt{a+x}=x^2\Rightarrow a-x^2=\sqrt{a+x}\\&再次平方：a^2-2ax^2+x^4=a+x\\&\therefore a^2-2ax^2-a-x+x^4=0\\&这是一个基于x的四次方程，不太好求解，通过换位思考发现，这也是一个基于a的二次方程，不妨解出a来：\\&\therefore a=\frac{(2x^2+1)\pm\sqrt{(2x^2+1)^2-4(x^4-x)}}{2}\\&\therefore a=\frac{2x^2+1\pm\sqrt{(2x+1)^2}}{2}\\&\therefore a=x^2+x+1或a=x^2-x通过这种变换，成功降幂，再解这两个基于x的的一元二次方程即可。\\&\therefore x^2+x+1-a=0\ldots(1)或者x^2-x-a=0\ldots(2)\\&\therefore (1)式的解：x=\frac{-1\pm\sqrt{4a-3}}{x}\Rightarrow\begin{cases}x_1=\displaystyle\frac{-1+\sqrt{4a-3}}{2}\\x_2=\displaystyle\frac{-1-\sqrt{4a-3}}{2}(\because x\geqslant0，舍去)\end{cases}\\&\therefore(2)式的解：x=\frac{1\pm\sqrt{4a+1}}{2}\Rightarrow\begin{cases}x_3=\displaystyle\frac{1+\sqrt{4a+1}}{2}\\x_4=\displaystyle\frac{1-\sqrt{4a+1}}{2}\end{cases}\\&\therefore原方程有三个实根。\end{split}$
题目三：解方程$(x+2)^4+(x+1)^4=17$，初中数学竞赛题，解高次方程，有难度。
解题思路：解高次方程，通常的思路就是换元降幂，这里也不例外，但是本题的换元不是换一个，而是换两个，通过设置两个元，达到降幂的目的。
$\begin{split}解：\\&令a=x+2，b=x+1\\&\therefore a-b=1\\&ab=(x+2)(x+1)\ \ 设法求解ab的值，即可求得x的值。下面通过一系列精彩变换求出ab:\\&\because a^4+b^4=17\\&\therefore(a^2)^2+(b^2)^2+2a^2b^2-2a^2b^2=17\\&\therefore(a^2+b^2)^2-2a^2b^2=17\\&\therefore\displaystyle[(a-b)^2+2ab]^2-2a^2b^2=17 \\&\therefore (1+2ab)^2-2a^2b^2-17=0\\&\therefore4a^2b^2+4ab+1-2a^2b^2-17=0\\&\therefore2a^2b^2+4ab-16=0\\&\therefore (ab)^2+2ab-8=0\\&\therefore(ab+4)(ab-2)=0\\&\therefore ab=-4或ab=2\\&(1)当ab=-4时：(x+2)(x+1)=-4\\&\therefore x^2+3x+6=0\\&\because\Delta=3^2-4\times1\times6=-15\leqslant0\\&\therefore方程无实根。\\&(2)当ab=2时：(x+2)(x+1)=2\\&\therefore x^2+3x+2=2\Rightarrow x^2+3x=0\\&\therefore x(x+3)=0\\&\therefore x_1=0，x_2=-3，这就是原方程的两个实根。\end{split}$
题目四：解方程$\displaystyle(3+2\sqrt2)^x+(3-2\sqrt2)^x=6$，初中数学竞赛题，有难度。
解题思路：遇到指数方程，需要使用幂相等则底数与指数均相等的定义。这里的两个底数有什么特点呢？需要找到两个底数之间的关系，然后用换元法求解。
$\begin{split}解：\\&令(3+2\sqrt2)^x=t，则t\gt0\\&\because 3-2\sqrt2=\frac{(3-2\sqrt2)(3+2\sqrt2)}{3+2\sqrt2}=\frac{3^2-(2\sqrt2)^2}{3+2\sqrt2}=\frac{1}{3+2\sqrt2}\\&\therefore(3-2\sqrt2)^x=\frac1t\\&\therefore t+\frac1t=6\\&\therefore t^2-6t+1=0\\&\therefore t=\frac{6\pm\sqrt{32}}{2}=3\pm2\sqrt2\Rightarrow\begin{cases}(3+2\sqrt2)^x=3+\sqrt2\\(3+2\sqrt2)^x=3-2\sqrt2=\displaystyle\frac{1}{3+2\sqrt2}=(3+2\sqrt2)^{-1}\end{cases}\\&\therefore x_1=1，x_2=-1\end{split}$
题目五：解方程$\displaystyle\sqrt{x^2-9}+\sqrt{x^2+9}=\sqrt7+5$，不要平方，有好方法。
解题思路：乍一看，见到根式方程，先两边平方去根号，但是本题右边也是一个根式，如果移项后再平方，计算量比较大，也不容易求解。由此，可以考虑使用换元法。
$\begin{split}解：\\&令\sqrt{x^2+9}=a(a\geqslant0)，\sqrt{x^2-9}=b(b\geqslant0)\\&\therefore \begin{cases}a+b=\sqrt7+5\ldots(1)\\a^2-b^2=18\ \ \ \ \ldots(2)\end{cases}\\&由(2)式可得：(a+b)(a-b)=18\\&\therefore(\sqrt7+5)(a-b)=18\\&\therefore a-b=\frac{18}{\sqrt7+5}=5-\sqrt7\\&\therefore\begin{cases}a+b=5+\sqrt7\\a-b=5-\sqrt7\end{cases}\\&\therefore a=5，b=\sqrt7\\&\therefore \sqrt{x^2+9}=5\\&x^2+9=25\\&x^2=16\\&\therefore x=\pm4\end{split}$
题目六：解方程$\displaystyle\frac{1+3^{-x}}{1+3^x}=3$，1992年的高考题。
解题思路：虽然是高考题，但是如果方法得当，用初中的数学知识也可以求解。遇到指数方程，一般来说需要使用换元法求解，本题也不例外。
$\begin{split}解：\\&令3^x=t(t\gt0)，则3^{-x}=\frac1{3^x}=\frac1t\\&\therefore \frac{1+\frac{1}{t}}{1+t}=3\\&\therefore 1+\frac1t=3+3t\\&\therefore3t^2+2t-1=0\\&\therefore (3t-1)(t+1)=0\\&\therefore t_1=\frac13，t_2=-1(不符合条件，舍去)\\&\therefore t=\frac13\\&\therefore 3^x=\frac13\\&\therefore x=-1\end{split}$