题目一：解方程$(2x+7)(x^2-9)(2x-5)=91$，初中数学竞赛试题，巧解高次方程。
解题思路：乍一看，想到将方程左边展开，但是再一想，左边展开后有$x^4、x^3$项，无法使用一元二次方程的求根公式，解高次方程难度极大，显然不行。通过观察发现，中间项是平方差，感觉应该可以通过展开平方差项，然后错位相乘，再通过换元法求解。
$\begin{split}解：\\&原式=(2x+7)(x-3)(x+3)(2x-5)=91\\&\therefore(2x^2+x-21)(2x^2+x-15)=91\\&通过观察发现，常数项是15与21，可以考虑采用平均值换元法凑成平方差项：\\&令2x^2+x-18=t\\&\therefore原式换元后可得：(t-3)(t+3)=91\\&\therefore t^2-9=91\Rightarrow t^2=100\Rightarrow t=\pm10\\&分别代入换元后的方程：\begin{cases}2x^2+x-18=10\Rightarrow2x^2+x-28=0\ldots(1)\\2x^2+x-18=-10\Rightarrow2x^2+x-8=0\ldots(2)\end{cases}\\&\because \Delta_1=1^2-4\times2\times(-28)=225\gt0\\&\therefore x=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\times2\times(-28)}}{2\times2}=\frac{-1\pm15}{4}\\&\therefore x_1=\frac72，x_2=-4\\&\because\Delta_2=1^2-4\times2\times(-8)=65\gt0\\&\therefore x=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\times2\times(-8)}}{2\times2}=\frac{-1\pm\sqrt{65}}{4}\\&\therefore x_3=\frac{-1+\sqrt{65}}{4}，x_4=\frac{-1-\sqrt{65}}{4}\\&\therefore原方程式有四个根，类似高次方程均可通过这种换元法求解。\end{split}$
题目二：解方程$\displaystyle\sqrt{x+16}+\sqrt{x+51}=7$
解题思路：对于类似 根式方程，通常可以采用移项后两边同时平方去根号的方法求解；也可以采用换元法求解，相对而言，换元法更加简洁。
$\begin{split}解法一：\\&移项：\sqrt{x+16}=7-\sqrt{x+51}\\&等式两边同时平方：\\&x+16=49+x+51-14\sqrt{x+51}\\&整理得：14\sqrt{x+51}=84\Rightarrow \sqrt{x+51}=6\\&\therefore x+51=36\\&\therefore x=-15\end{split}$
$\begin{split}&解法二：用换元法求解更简洁。\\&令\sqrt{x+16}=a，\sqrt{x+51}=b\Rightarrow \begin{cases}a^2=x+16\\b^2=x+51\end{cases}\\&\therefore\begin{cases}a+b=7\\a^2-b^2=(a+b)(a-b)=-35\end{cases}\\&\therefore \begin{cases}a+b=7\ \ \ \ldots(1)\\a-b=-5\ldots(2)\end{cases}\\&\therefore(1)+(2)可得：2a=2\Rightarrow a=1\\&\therefore\sqrt{x+16}=1\\&\therefore x=-15\\&代入原方程验算后无误。\end{split}$
题目三：解方程$x^3=11x-20$，初中数学竞赛题目，要敢于尝试新的解法。
解题思路：这是一个高次方程，直接求解难度较大，观察发现，该方程缺少二次项，可以设法给方程两边同时加一个二次项，两边分别进行因式分解，然后再移项提取公因式，进而达到降幂，最终求解。类似题目的基本思路就是如此。
解：
关键是方程两边同时加$ax^2$的$a$究竟应该是多少？通过分析方程右边，加$4x^2$最有可能。
$\begin{split}\\&等式两边同时加4x^2：\\&x^3+4x^2=4x^2+11x-20\\&\therefore x^2(x+4)=(x+4)(4x-5)\\&\because无法判断x+4是否等于0，所以不能直接除以(x+4)降幂，只能移项。\\&\therefore x^2(x+4)-(x+4)(4x-5)\\&\therefore (x+4)(x^2-4x+5)=0\\&\therefore\begin{cases}x+4=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ldots(1)\\x^2-4x+5=0\ldots(2)\end{cases}\\&\therefore (1)\Rightarrow x=-4\\&\because(2)式的\Delta=(-4)^2-4\times1\times5=-4\lt0\therefore(2)式无实根。\\&\therefore x=-4\ \ \ 是此方程唯一的实根。\end{split}$
题目四：解方程$\displaystyle\sqrt{x}+\sqrt{x+5}+2\sqrt{x^2+5x}=25-2x$
解题思路：观察发现$\displaystyle2\sqrt{x^2+5x}=2\sqrt{x(x+5)}=2\sqrt{x}\sqrt{x+5}$，原方程可以设法变换成为完全平方公式的形式进行求解。
$\begin{split}解：\\&原方程可以变形为：\\&2x+\sqrt{x}+\sqrt{x+5}+2\sqrt{x}\sqrt{x+5}-25=0\\&\therefore x+2\sqrt{x}\sqrt{x+5}+(x+5)+\sqrt{x}+\sqrt{x+5}-30=0\\&\therefore(\sqrt{x}+\sqrt{x+5})^2+(\sqrt{x}+\sqrt{x+5})-30=0\\&将(\sqrt{x}+\sqrt{x+5})看成一个整体a，用十字相乘法进行因式分解可得：\\&(\sqrt{x}+\sqrt{x+5}+6)(\sqrt{x}+\sqrt{x+5}-5)=0\\&\therefore\sqrt{x}+\sqrt{x+5}+6=0\ldots(1)或者\sqrt{x}+\sqrt{x+5}-5=0\ldots(2)\\&\because(1)式中\sqrt{x}\ge0且\sqrt{x+5}\ge0\therefore(1)\ge0\Rightarrow(1)式无实根（舍去）。\\&\therefore\sqrt{x}+\sqrt{x+5}-5=0\\&\therefore\sqrt{x}=5-\sqrt{x+5}\\&\therefore x=25-10\sqrt{x+5}+x+5\\&\therefore10\sqrt{x+5}=30\\&\therefore\sqrt{x+5}=3\\&\therefore x+5=9\Rightarrow x=4\\&代入原方程检验后正确无误，x=4是原方程的实根。\end{split}$
题目五：解方程$\displaystyle\frac{x-2}{2016}+\frac{x}{2017}+\frac{x+2}{2018}=6$
解题思路：乍一看，这就是一元一次方程，可以通分后求解，但是由于分母较大，通分的计算量较大。类似题目，一定有简便方法，通过观察发现，方程右边是$\displaystyle6=2+2+2=\frac{4032}{2016}+\frac{4034}{2017}+\frac{4036}{2018}$，而左边三个分数的分子分别相差2，能否将6移项后分劈成三个2，然后分别相减求解呢？
$\begin{split}解：\\&原方程可以变形为：\\&\left(\frac{x-2}{2016}-2\right)+\left(\frac{x}{2017}-2\right)+\left(\frac{x+2}{2018}-2\right)=0\\&\therefore\frac{x-2-4032}{2016}+\frac{x-4034}{2017}+\frac{x+2-4036}{2018}=0\\&\therefore(x-4034)(\frac1{2016}+\frac1{2017}+\frac1{2018})=0\\&\because\frac1{2016}+\frac1{2017}+\frac1{2018}\gt0\\&\therefore x-4034=0\\&\therefore x=4034\ \ 不用通分，直接求解，30秒钟足够。\end{split}$
题目六：解方程$\displaystyle x^2+\frac{16x^2}{(x-4)^2}=180$，德国中学数学竞赛题，没有硬功夫一时半会解不出来。
解题思路：这是一个分式方程，通常来说分式方程需要转化为整式方程求解，但是这个方程的分子含有二次项，转化为整式方程后是四次方程，无法直接求解，因此，需要另辟蹊径，这种高次方程一般的思路是，通过转换以及换元将原方程降幂，然后分步求解。
$\begin{split}解：\\&原方程可以进行变形：\\&x^2+\left(\frac{4x}{x-4}\right)^2=180\\&\therefore x^2+2x\frac{4x}{x-4}+\left(\frac{4x}{x-4}\right)^2=180+2x\frac{4x}{x-4}\\&\therefore \left(x+\frac{4x}{x-4}\right)^2=180+\frac{8x^2}{x-4}\\&\therefore \left(\frac{x^2}{x-4}\right)^2=180+\frac{8x^2}{x-4}\\&令\frac{x^2}{x-4}=a\\&则有：a^2=180+8a\\&\therefore a^2-8a-180=0\\&\therefore (a-18)(a+10)=0\\&\therefore a=18或者a=-10\\&代入换元式有：\frac{x^2}{x-4}=18或\frac{x^2}{x-4}=-10\\&整理得：x^2-18x+72=0\ldots(1)或x^2+10x-40=0\ldots(2)\\&(1)式\Rightarrow (x-12)(x-6)=0\\&x_1=12，x_2=6\\&(2)式\Rightarrow x_{3,4}=\frac{-10\pm\sqrt{100-4\times1\times(-40)}}{2}=-5\pm\sqrt{65}\end{split}$