代数式求值问题技巧集锦(五)

  题目一:若$x^2+y^2=7,x^3+y^3=10$,求$x+y$的值。初中数学竞赛题,难度太大,需要技巧。
  解题思路:由于存在3次项,联立展开求解比较复杂,需要将$x+y$看成整体,设法构造包含$x+y$的项,再通过换元法求解。

$\begin{split}解:\\&\because (x+y)^2=x^2+y^2+2xy\\&\therefore x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=7\ldots(1)\\&\because x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=(x+y)(7-xy)=10\ldots(2)\\&\therefore由(2)式可得:xy=7-\frac{10}{x+y}\ldots(3)\\&通过变换后,都只有x+y项了,下一步就可以进行换元:令x+y=a,代入(1)(3)式可得:\\&a^2-2\times\left({7-\frac{10}{a}}\right)=7\\&\therefore a^2-14+\frac{20}{a}-7=0\\&\therefore a^3-21a+20=0\\&\therefore a^3-1-(21a-21)=0\\&(a-1)(a^2+a+1)-21(a-1)=0\\&(a-1)(a^2+a-20)=0\\&(a-1)(a+5)(a-4)=0\\&\therefore a_1=1,a_2=-5,a_3=4\\&\therefore x+y的取值就是上述三个!\end{split}$

  题目二:若$x^2-y^2=72,2xy+y^2=33$,求$x、y$的值。看似复杂,如果用对方法,其实也不难。
  解题思路:乍一看,两个条件均为二次方程,可以联立求解,但是这种联立两个方程求解的步骤较多,容易出错。正确的方法依然是换元法,关键是如何进行换元的问题。通过观察发现,两个方程均有,可以设法消元后再换元。

$\begin{split}解:\\&\because x^2-y^2=72\ldots(1),2xy+y^2=33\ldots(2)\\&\therefore由(2)式可知y\neq0\Rightarrow y^2\gt0,方程两边同时除以y^2:\\\\&\begin{cases}\displaystyle\frac{x^2}{y^2}-\frac{y^2}{y^2}=\frac{72}{y^2}\\ \displaystyle\frac{2xy}{y^2}+\frac{y^2}{y^2}=\frac{33}{y^2}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\displaystyle\left(\frac{x}{y}\right)^2-1=\frac{72}{y^2}\\ \displaystyle2\frac{x}{y}+1=\frac{33}{y^2}\end{cases}\\\\&\ 令\frac{x}{y}=a则有:\begin{cases}\displaystyle a^2-1=\frac{72}{y^2}\ldots(3)\\ \displaystyle2a+1=\frac{33}{y^2}\ldots(4)\end{cases}\\\\&联立(3)(4)式可得:\frac{a^2-1}{72}=\frac{2a+1}{33}\Rightarrow 33(a^2-1)=72(2a+1)\\&33a^2-144a-105=0\Rightarrow\bbox[yellow,5pt,border:2px solid blue]{11a^2-48a-35=0}\\&\therefore (a-5)(11a+7)=0\\&\therefore a_1=5,a_2=-\frac7{11}\Rightarrow x=5y或x=-\frac7{11}y\\&分别代入(1)式可得:(5y)^2-y^2=72\ldots(5),(-\frac7{11}y)^2-y^2=72\ldots(6)\\&\therefore解得(5)式的根:y=\pm\sqrt3\ldots(7)\\&\because由于y^2\gt0\Rightarrow\quad(6)式左边:\left[(\frac{7}{11})^2-1\right]y^2\lt0\\&\therefore(6)式不成立,x=-\frac{7}{11}y应舍去。\\&将(7)式代入(1)式可得:x^2-(\pm\sqrt{3})^2=72\Rightarrow x^2=75\Rightarrow x=\pm5\sqrt{3}\\&\because将(7)式代入(2)式可得:2xy=33-y^2=30\gt0\\&\therefore x,y必须同号:\\&\therefore\bbox[yellow,8pt,border:2px solid red]{ \begin{cases}x=5\sqrt3\\y=\sqrt3\end{cases}\text{或}\begin{cases}x=-5\sqrt3\\y=-\sqrt3\end{cases}}\end{split}$

  题目三:若$a^2-a-1=0$,求$\displaystyle a^8+\frac{7}{a^4}$的值。初中数学竞赛题目,代数式求值,有一定难度,需要技巧。
  解题思路:求高次幂的值,通常的做法是通过代数变化进行降次,根据已知条件,可以连续进行降幂,然后求解。

$\begin{split}\text{解:}\\&\because a^2-a-1=0\\&\therefore a^2=a-1\\&\therefore a^8+\frac{7}{a^4}=(a+1)^4+\frac{7}{(a+1)^2}\\&=(a^2+2a+1)^2+\frac{7}{a^2+2a+1}\\&=(3a+2)^2+\frac{7}{3a+2}\\&=9a^2+12a+4+\frac{7}{3a+2}\\&=21a+13+\frac{7}{3a+2}\\&=\frac{(21a+13)(3a+2)+7}{3a+2}\\&=\frac{63a^2+81a+33}{3a+2}\\&\bbox[yellow,6pt,border:2px solid red]{=\frac{144a+96}{3a+2}=\frac{48(3a+2)}{3a+2}=48}\end{split}$

  题目四:若$x^2+y^2=29,xy+x+y=-13$,求$x,y$的值。解法不拘一格,有点意思。
  解题思路:乍一看,可以通过联立两个方程进行求解;但是,计算量比较大,容易出错。仔细观察发现,可以通过完全平方公式进行降次,然后再求解,不仅简单,而且不易出错!

$\begin{split}\text{解:}\\&\begin{cases}x^2+y^2=29\;\qquad\ldots(1)\\xy+x+y=-13\ldots(2)\end{cases}\\\\&\text{$(2)式\times2可得$:}2xy+2(x+y)=-26\ldots(3)\\&\text{(1)+(3)可得:}x^2+y^2+2xy+2(x+y)=3\\\\&(x+y)^2+2(x+y)-3=0\\&\therefore (x+y+3)(x+y-1)=0\\&\therefore x+y=-3\text{或者}x+y=1\\\\&分别代入(2)式可得:xy=-10\text{或者}xy=-14\\\\&\therefore \begin{cases}x+y=-3\\xy=-10\end{cases}\text{或者}\begin{cases}x+y=1\\xy=-14\end{cases}\\\\&\text{解上述两个方程组可得:}\\\\&\therefore \begin{cases}x_1=-5\\y_1=2\end{cases}\text{或者} \begin{cases}x_2=2\\y_2=-5\end{cases}\\\\& \begin{cases}x_3=\displaystyle\frac{1+\sqrt{57}}{2}\\y_3=\displaystyle\frac{1-\sqrt{57}}{2}\end{cases}\text{或者} \begin{cases}x_4=\displaystyle\frac{1-\sqrt{57}}{2}\\y_4=\displaystyle\frac{1+\sqrt{57}}{2}\end{cases}\end{split}$

  题目五:若$x^2=x+1,y^2=y+1$,求$x^2+y^2$的值。代数式求值,原来还有这种方法。
  解题思路:如果先通过解一元二次方程的方法,求出$x、y$的值,然后代入求解,过程比较冗长,需要分别代入。通过观察发现,已知条件是两个一模一样的方程,由此联想到韦达定理,能否用这个定理求解。

$\begin{split} \text{解:}\\& \text{根据已知条件可知,$x、y$可以看作方程:}\\&m^2=m+1\Rightarrow m^2-m-1=0 \text{的两个根,根据韦达定理:} \\[2ex]&\because x+y=1,xy=-1\\\\&\therefore x^2+y^2=(x+y)^2-2xy\\&=1^2-2\times(-1)=3\end{split}$

  题目六:若实数$x、y$满足$x^3+y^3=2$,求$x+y$的最大值。2017年高考数学题,代数式求值,用初中知识照样能够解出来。
  解题思路:条件是三次代数式,要求出$x、y$的最大值,需要进行代数变换,然后构造一个一元二次方程,用韦达定理求最大值。

$\begin{split}\text{解:}\\&\text{条件代数式可以变换为:}(x+y)(x^2-xy+y^2)=2\\[2ex]&\therefore (x+y)\left[(x+y)^2-3xy\right]=2\\\\&\text{令$x+y=t$(根据已知条件$t\neq0)$}\\[2ex]&\therefore t(t^2-3xy)=2\Rightarrow xy=\frac13\left(t^2-\frac2t\right)\\[2ex]\\&\therefore\text{根据维达定理,$x、y$是下面一元二次方程的两个根:}\\&M^2-tM+\frac13(t^2-\frac2t)=0\\&\therefore \Delta=(-t)^2-4\times1\times\frac13(t^2-\frac2t)\geqslant0\\&\text{整理可得:}t^2-\frac8t\leqslant0\\&\therefore t^2\leqslant\frac8t\Rightarrow t^3\leqslant8\\&\therefore t\leqslant2\\&\therefore \bbox[yellow,5pt,border:2px solid green]{(x+y)_{max}=2}\end{split}$

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