题目一：若$a^2+b^2=10，ab=3$，求$\displaystyle\frac{a}{b}$的值。常见的基础性代数式变换技巧，但是却有80%的同学非常迷茫。
解题思路：多数童鞋看到这种题目，想到联立两个等式，用解二元方程的方法求解出来$a、b$，然后计算$\displaystyle\frac{a}{b}$的值，当然，这也不是不行，但是求解过程可能比较冗长。能够通过两个已知条件设法构造出来$\displaystyle\frac{a}{b}$呢？
$\begin{split}解：\\&\because\begin{cases}a^2+b^2=10\ldots(1)\\ab=3\ldots\ldots\ldots(2)\end{cases}\\&\therefore \frac{(1)}{(2)}=\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{ab}=\frac ab+\frac ba=\frac{10}{3}\\&\therefore令\frac ab=t，则\frac ba=\frac1t\\&\therefore t+\frac1t=\frac{10}3\\&\therefore 3t^2+3=10t\Rightarrow 3t^2-10t+3=0\\&\therefore(3t-1)(t-3)=0\\&\therefore t_1=\frac13，t_2=3\\&\therefore \frac{a}b=\frac13或\frac{a}b=3\end{split}$
题目二：若$2^x=3^y=36$，求$\displaystyle\frac1x+\frac1y$的值。初中数学竞赛题目，有非常巧妙的思路。
解题思路：乍一看，可以通过对数的方法求解，也应该可以求出来。但是，对数是高中阶段的知识点，初中生没有对数知识，如何求解呢？有没有更简单的，使用初中数学知识就可以解决问题的办法呢？
$\begin{split}解法一：\\&使用对数的运算法则求解。\\&\because 2^x=3^y=36\\&\therefore x=\log_2{36}，y=\log_3{36}\\&根据对数的换底公式：\log_a{b}=\frac{\log_c{b}}{\log_c{a}}\\&\therefore \frac1x=\log_{36}2，\frac1y=\log_{36}3\\&\therefore \frac1x+\frac1y=\log_{36}2+\log_{36}3=\log_{36}6=\frac{\log_6{6}}{\log_6{6^2}}=\frac{\log_6{6}}{2\log_6{6}}=\frac12\end{split}$
$\begin{split}解法二：\\&\because2^x=3^y=36\\&\therefore (2^x)^{\frac1x}=36^{\frac1x}\Rightarrow2=36^{\frac1x}，同理：3=36^{\frac1y}\\&\therefore2\times3=36^{\frac1x+\frac1y}\Rightarrow6^1=36^{\frac1x+\frac1y}=6^{2({\frac1x+\frac1y})}\\&\therefore 2({\frac1x+\frac1y})=1\\&\therefore\frac1x+\frac1y=\frac12\end{split}$
题目三：若$\displaystyle\frac{a-4}{a+1}$是整数，求整数$a$的值。初中数学竞赛题目，如何求整数$a?$方法，值得收藏。
解题思路：乍一看，可以采用试验法，但是可能漏掉一些值，且不符合数学逻辑。通过观察发现$\displaystyle\frac{a-4}{a+1}$的分子分母中都有$a$，不妨采用分离常数法将$a$放在分子或者分母中，然后利用已知条件进行判断。
$\begin{split}解：\\&\frac{a-4}{a+1}=\frac{a+1-5}{a+1}=1-\frac{5}{a+1}\\&\because\displaystyle\frac{a-4}{a+1}是整数，那么\frac{1}{a+1}必然是整数，且a+1必然是整数5的因子\\&\therefore 有五种情形：\\&\begin{cases}a+1=1\\a+1=-1\\a+1=5\\a+1=-5\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}a_1=0\\a_2=-2\\a_3=4\\a_4=-6\end{cases}\\&\therefore整数a有四个值！\end{split}$
题目四：若$6^x+6^y=42，x+y=3$，求的$xy$值。初中数学竞赛题，代数式求值，有难度，思路不好想出来。
解题思路：类似题目，首先想到指数运算规则，然后联立两个已知条件用换元法解方程，最后求出$x、y$的值。
$\begin{split}解：\\&\because x+y=3\\&\therefore y=3-x\\&\because6^x+6^y=42\\&\therefore 6^x+6^{3-x}=42\\&\therefore6^x+\frac{6^3}{6^x}=42\\&令a=6^x\\&\therefore a+\frac{6^3}{a}=42\\&\therefore a^2-42a+6^3=0\\&\therefore (a-36)(a-6)=0\\&解得：a_1=36，a_2=6\\&\therefore 6^x=36=6^2\Rightarrow x=2\Rightarrow y=1\\&或6^x=6\Rightarrow x=1\Rightarrow y=2\\&\therefore xy=2\end{split}$
题目五：若$a、b为正整数，且a^2+b^2=3025$，求$a+b$的值。同济大学附中自主招生题目，代数式求值，有难度。
解题思路：只有一个等式，求解两个未知数，属于不定方程，要充分利用已知条件$a+b$是正整数，通过变换进行求解。
$\begin{split}解：\\&\because3025=5\times5\times11\times11=11^2\times5^2\\&\because a^2+b^2=3025=11^2\times5^2\\&如何把等式的右边也变换成两个整数的立方和？\end{split}$
$\begin{split}\\&联想到勾股定理：5^2=3^2+4^2\\&\therefore a^2+b^2=11^2\times(3^2+4^2)=33^2+44^2\\&\because a、b为正整数\\&\therefore a=33，b=44或者a=44，b=33\\&\therefore a+b=77\\&\end{split}$
题目六：若$x=\sqrt[3]4+\sqrt[3]2+\sqrt[3]1$，求$\displaystyle\frac3x+\frac3{x^2}+\frac1{x^3}$的值。初中数学竞赛题，代数式求值，难度不小。
解题思路：乍一看，无论是已知条件，还是需要求值的代数式，都3次方或者开立方，类似题目，首先想到的应该是如何利用完全立方公式、立方差公式、立方和公式，通过换元变形，最后求值。
$\begin{split}解：\\&原式=\left(\frac1x\right)^3+3\left(\frac1x\right)^2+3\left(\frac1x\right)+1-1=\left(\frac1x+1\right)^3-1\\&\because x=4^{\frac13}+2^{\frac13}+1^{\frac13}\\&令m=\sqrt[3]2=2^{\frac13}\\&\therefore m^2=(2^{\frac13})^2=4^{\frac13}\\&\therefore x=m^2+m+1\\&\therefore (m-1)\cdot{x}=(m-1)(m^2+m+1)\\&已知(m-1)\ne0)\\&\therefore x=\frac{m^3-1}{m-1}=\frac{(\sqrt[3]2)^3-1}{\sqrt[3]2-1}=\frac{1}{\sqrt[3]2-1}\\&\therefore原式=\left(\frac1x+1\right)^3-1=(\sqrt[3]2-1+1)^3-1=1\end{split}$
《“代数式求值问题技巧集锦（四）”》 有 1 条评论
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