题目一：若$x^2-x+1=0$，求$x^{2015}-x^{2014}$的值。北大附中自主招生考试题，难度非常大。
解题思路：乍一看，解出来$x$的值代入求解即可，但是仔细研究发现，$x$无实数根，显然不行。经过观察发现$x^{2015}-x^{2014}可以变换为x^{2014}(x-1)，x-1=x^2$，$x^2-x+1$可以设法构造立方和差公式，只能设法求得$x^{2016}$的值。
$\begin{split}解：\\&\because x^2-x+1=0\\&\Delta=(-1)^2-4\times1\times1=-3\lt0\\&\therefore 方程无实数根\\&\because x^2-x+1=0\\&\therefore x\ne-1且x+1\ne0\\&\therefore (x+1)(x^2-x+1)=0\\&\therefore x^3+1=0\\&\therefore x^3=-1\\&\because x^2-x+1=0\\&\therefore x^2=x-1\\&\therefore x^{2015}-x^{2014}=x^{2014}(x-1)\\&=x^{2014}\cdot{x}^2=x^{2016}=\left(x^3\right)^{672}=(-1)^{672}=+1(偶数次幂)\end{split}$
题目二：若$a、b、c$是正数，且满足$a+b+c=9，\displaystyle\frac1{a+b}+\frac1{b+c}+\frac1{a+c}=\frac{10}{9}$，求$\displaystyle\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$的值，初中数学竞赛题，代数式求值，难度不大。
解题思路：代数式求值，可以用已知条件进行替换，然后再用化简的方式求值。
$\begin{split}解：\\&\because a+b+c=9\\&\therefore \begin{cases}a=9-(b+c)\\b=9-(a+c)\\c=9-(a+b)\end{cases}\\&原式=\frac{9-(b+c)}{b+c}+\frac{9-(a+c)}{a+c}+\frac{9-(a+b)}{a+b}\\&=\frac9{b+c}-1+\frac9{a+c}-1+\frac9{a+b}-1\\&=\frac9{b+c}+\frac9{a+c}+\frac9{a+b}-3\\&=9\times\left(\frac1{b+c}+\frac1{a+c}+\frac1{a+b}\right)-3\\&=9\times\frac{10}{9}-3=7\end{split}$
题目三：已知$a、b、c$为实数，且$\displaystyle a^2+b^2+c^2=1，a(\frac1b+\frac1c)+b(\frac1a+\frac1c)+c(\frac1a+\frac1b)=-3$，求$a+b+c$的值。初中数学竞赛题，看似简单，解起来不容易。
解题思路：类似题目，不可能解出来a、b、c求值，得想办法充分利用已知条件，通过一系列代数变换，将$a+b+c$看成一个整体进行求值。
$\begin{split}解：\\&由已知条件可得：\frac ab+\frac ac+\frac ba+\frac bc+\frac ca+\frac cb=-3\\&=\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}=-3\\&\therefore \left(\frac{a+c}{b}+1\right)+\left(\frac{a+b}{c}+1\right)+\left(\frac{b+c}{a}+1\right)=0\\&\therefore\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}+\frac{a+b+c}{a}=0\\&\therefore(a+b+c)\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right)=0\\&\therefore a+b+c=0或者\frac1a+\frac1b+\frac1c=0\\&\because \frac1a+\frac1b+\frac1c=\frac{ab+ac+bc}{abc}=0\\&\therefore ab+ac+bc=0(因为abc\ne0)\\&由已知条件可得：\\&a^2+b^2+c^2=1\\&\because (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)=1+0\\&\therefore a+b+c=\pm1\\&\therefore a+b+c=0或者a+b+c=\pm1\end{split}$
题目四：已知$a+b+c=0$，求$\displaystyle\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ac}+\frac{c^2}{2c^2+ab}$的值。初中数学竞赛题，代数式求值，难度相当大。
解题思路：这是一个复杂分式求值，通分求值显然不行，只能先设法凑出来合适的项，然后通过因式分解，设法将复杂分式变换为简单分式的形式，再求值。
$\begin{split}解：\\&\because a+b+c=0\\&\therefore\begin{cases}a=-(b+c)\\b=-(a+c)\\c=-(a+b)\end{cases}\\&\therefore2a^2+bc=a^2+a^2+bc=a^2-a(b+c)+bc=(a-b)(a-c)\\&\therefore \frac{a^2}{2a^2+bc}=\frac{a^2}{(a-b)(a-c)}=\frac13\left(\frac{a}{a-b}+\frac{a}{a-c}\right)\ldots(1)\\&同理可得：\\&\frac{b^2}{2b^2+ac}=\frac13\left(\frac{b}{b-c}+\frac{b}{b-a}\right)\ldots(2)\\&\frac{c^2}{2c^2+ab}=\frac13\left(\frac{c}{c-a}+\frac{c}{c-b}\right)\ldots(3)\\&\therefore原式=(1)+(2)+(3)\\&=\frac13\left[(\frac{a}{a-b}+\frac{b}{b-a})+(\frac{a}{a-c}+\frac{c}{c-a})+(\frac{b}{b-c}+\frac{c}{c-b})\right]=1\end{split}$
题目五：若$a^2+b^2+a+b-ab+1=0$求$a+b$的值。初中数学竞赛题目，90%同学无从下手，主要还是找不到思路。
解题思路：这种题目，通常需要将a+b看作整体求值。仔细观察条件发现，条件等式似乎可以转换成几个完全平方式，只是$a^2、b^2$似乎有点少，但是可以通过给条件等式两边同时乘以2来解决这个问题。
$\begin{split}解法一：\\&\because a^2+b^2+a+b-ab+1=0\\&\therefore 2a^2+2b^2+2a+2b-2ab+2=0\\&\therefore (a^2+2a+1)+(b^2+2b+1)+(a^2-2ab+b^2)=0\\&\therefore(a+1)^2+(b+1)^2+(a-b)^2=0\\&\because \begin{cases}(a+1)^2\geqslant0\\(b+1)^\geqslant0\\(a-b)^2\geqslant0\end{cases}\\&\therefore\begin{cases}a+1=0\\b+1=0\\a-b=0\end{cases}\\&\Rightarrow a=b=-1\\&\therefore a+b=-1+(-1)=-2\end{split}$
$\begin{split}解法二：\\&将已知条件作为一个a是未知数，b是常数的一元二次方程。\\&\because a^2+a(1-b)+(b^2+b+1)=0\\&\therefore若方程有实根则：\\&\Delta=(1-b)^2-4(b^2+b+1)=-3(b+1)^2\geqslant0(所以只能等于0)\Rightarrow b=-1\\&\therefore a=\frac{-(1-b)\pm\sqrt{\Delta}}{2}=-1\\&\therefore a+b=-2\\&这种解法二也比较巧妙，利用一元二次方程的性质求解，更加简洁，这方法也是绝了！\end{split}$
题目六：若$a、b、c为整数，ab+c=85，a+bc=86$，求abc的值。初中数学竞赛题目，难度大，技巧性强。
解题思路：仅仅通过后面两个条件进行变换，无论如何也不可能求出来a、b、c的值，只能充分利用a、b、c为整数的这个条件缩小范围，从而求得a、b、c的值。
$\begin{split}解：\\&设\begin{cases}ab+c=85\ldots(1)\\a+bc=86\ldots(2)\end{cases}\\&(2)-(1)得：a-ab+bc-c=1\\&a(1-b)-c(1-b)=1\\&\therefore(1-b)(a-c)=1\\&\because a、b、c为整数，整数的积为1，只能是1\times1或者(-1)\times(-1)\\&\therefore 1-b、a-c也必然是整数，所以分两种情况：\\&(1)\begin{cases}1-b=1\\a-c=1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}b=0\\a=86\\c=85\end{cases} \Rightarrow abc=0\\&(2)\begin{cases}1-b=-1\\a-c=-1\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}b=2\\a=28\\c=29\end{cases}\Rightarrow abc=28\times2\times29=1624\end{split}$
《 “代数式求值问题技巧集锦（三）” 》 有 3 条评论
good!!!
$三数平方：\color{blue}\enclose{box}{\boldsymbol{\color{black}(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)}}$
$用MathJax渲染的公式：\color{red}\underline{\color{black}e^{i\pi}+1=0}$
$y = x^2 \hbox{ when $x > 2$}$
$\bbox[#cde,53px,border: 5px solid red]{\displaystyle\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$
$\begin{array}{rll}
125 & \hbox{(Explanations)} \\[-3pt]
4 \enclose{longdiv}{500}\kern-.2ex \\[-3pt]
\underline{4\phantom{00}} & \hbox{($4 \times 1 = 4$)} \\[-3pt]
10\phantom{0} & \hbox{($5 – 4 = 1$)} \\[-3pt]
\underline{\phantom{0}8\phantom{0}} & \hbox{($4 \times 2 = 8$)} \\[-3pt]
\phantom{0}20 & \hbox{($10 – 8 = 2$)} \\[-3pt]
\underline{\phantom{0}20} & \hbox{($4 \times 5 = 20$)} \\[-3pt]
\phantom{00}0
\end{array}$