题目一：已知$x^2=5-2\sqrt6$，求$x^3$的值（上海市中考试题，看似简单，难倒一片学霸）。
解题思路：如果从已知条件解出来$x$的值，然后带入取立方，那么会发现计算量很大，需要另辟蹊径。通过观察可以发现$5-2\sqrt6$是一个完全平方数。
$\begin{split}解：\\&x=\pm\sqrt{5-2\sqrt6}\\&=\pm\sqrt{5-2\sqrt3\sqrt2}=\pm\sqrt{(\sqrt3-\sqrt2)^2}\\&=\pm(\sqrt3-\sqrt2)\end{split}$
如果直接取立方计算，会发现计算量很大，可以通过$x^3=x\cdot{x}^2$变换进行求解。
$\begin{split}&x^3=x\cdot{x}^2=\pm(\sqrt3-\sqrt2)\cdot(5-2\sqrt6)\\&=\pm(5\sqrt3-6\sqrt2-5\sqrt2+4\sqrt3)\\&=\pm(9\sqrt3-11\sqrt2)\end{split}$
题目二：若$x^2+y^2=8$，$xy=1$ ，求$x^2-y^2$的值（解法绝妙，值得收藏学习）。
解题思路：如果联立方程求解，计算过程可能非常冗长，通过观察发现$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$是平方差，只要能够求出$(x+y)和(x-y)$的值，整体代入即可。
$解：\\ \begin{split}\\&由已知条件可得：\begin{cases}(x+y)^2=x^2+y^2+2xy=8+2=10\ \ \ (1)\\(x-y)^2=x^2+y^2-2xy=8-2=6\ \ \ \ \ (2)\end{cases}\end{split}$
计算$(1)\times(2)$可得：
$\begin{split}&(x+y)^2(x-y)^2=60\Rightarrow \left[(x+y)(x-y)\right]^2=60\Rightarrow\left(x^2-y^2\right)^2=60\\&\therefore x^2-y^2=\pm\sqrt{60}=\pm2\sqrt{15}\end{split}$
题目三：若$4^x=5^y=20$，求$\displaystyle\frac1x+\frac1y$的值（初中数学，代数式求值，分享最巧妙的解法）。
解题思路：直接求$x、y$，然后代入求值几乎不可能，初中数学又没有对数知识，所以只能设法通过已知条件构造出来$\displaystyle\frac1x+\frac1y$，作为一个整体进行判断求值。
$\begin{split}解：\\&\because 4^x=20\\&\therefore(4^x)^\frac1x=20^\frac1x\\&\therefore 20^\frac1x=4 \ldots(1)\\&同理：\\&20^\frac1y=5\ldots(2)\\&\because (1)\times(2)可得：20^\frac{1}{x}\times20^\frac1y=4\times5=20\\&\therefore20^{(\frac1x+\frac1y)}=20=20^1\\&两个以20为底的指数幂相等，那么指数也必然相等，\therefore \frac1x+\frac1y=1\end{split}$
题目四：若$a+b=1，ab=1$，求$a^3+b^3$的值（美国数学竞赛题，代数式求值，看似简单，却难倒不少学霸）。
解题思路：看见两个已知条件，可以想到联立求解，但是发现联立后的一元二次方程没有实根，所以这个方法行不通，需要其他方式，得想办法将$a^3+b^3$转化为包含$(a+b)^n$幂以及$ab$项的多项式，然后代入计算即可。
$\begin{split}解：\\&根据已知条件a+b=1，ab=1可以得出：\\&a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\\&=(a+b)[(a+b)^2-3ab]\\&=(a+b)^3-3ab(a+b)\\&=1^3-3\times1\times1=1-3=-2\end{split}$
题目五：若$\sqrt{27-10\sqrt2}=a+b$，其中$a$为整数且$0<b<1$，求$\displaystyle\frac{{a+b}}{{a-b}}$的值（八年级拓展题，代数式求值，看似简单实则有难度）。
解题思路：首先得想到$\sqrt{27-10\sqrt2}=a+b$等式左边是否可以分解为$(a-b)^2$形式，然后利用已知条件设法求出$a-b$的值。
$\begin{split}解：\\&\because\sqrt{27-10\sqrt2}\\&=\sqrt{27-2\times5\sqrt2}\\&=\sqrt{5^2-2\times5\sqrt2+{\sqrt2}^2}=\sqrt{(5-\sqrt2)^2}=5-\sqrt2\\&\therefore a+b=5-\sqrt2\\&\because a+b=5-\sqrt2，那么3<a+b<4，又由于a为整数且0<b<1\\&\therefore a=3\\&\therefore b=5-\sqrt2-3=2-\sqrt2\\&\therefore a-b=3-(2-\sqrt2)=1+\sqrt2\\&\therefore \frac{a+b}{a-b}=\frac{5-\sqrt2}{1+\sqrt2}=6\sqrt2-7\end{split}$
题目六：已知$\displaystyle\frac{b+c}{a}=\frac{a+c}{b}=\frac{a+b}{c}$，求$\displaystyle\frac{abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}$的值。
解题思路：如果是填空题，乍一看可以用特殊值法代入求值，令$\displaystyle a=b=c=1$，那么，代入可得答案为$\displaystyle\frac{1}{8}$，但是，这个答案其实不全，如果填空的话不能得分。
$\begin{split}解：\\&令\displaystyle\frac{b+c}{a}=\frac{a+c}{b}=\frac{a+b}{c}=t\\& \therefore\begin{cases}a+b=ct\ldots(1)\\a+c=bt\ldots(2)\\b+c=at\ldots(3)\end{cases}\\&(1)+(2)+(3)可得：\\&\therefore(a+b)+(a+c)+(b+c)=at+bt+ct\\&\therefore2(a+b+c)=t(a+b+c)\\&\therefore(a+b+c)(2-t)=0\end{split}$
分两种情况：
(1)当$2-t=0$时，$t=2$：原式$=\displaystyle\frac{abc}{t^3{abc}}=\frac18$
(2)当$a+b+c=0$时：
$\begin{split}\\&\because\begin{cases}b+c=-a\\a+c=-b\\a+b=-c\end{cases}\\&原式=\displaystyle\frac{abc}{(-c)(-a)(-b)}=-1\\&\therefore标准答案是原式=\frac18或-1\end{split}$
所以，使用特殊值替代法的时候一定要考虑全面，否则看似简单的题目也可能出错！
《“代数式求值问题技巧集锦（二）”》 有 1 条评论
$\displaystyle完全平方公式：(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$
$\displaystyle平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
$\displaystyle完全立方公式：(a\pm b)^3=a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3$
$\displaystyle立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
$\displaystyle立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$