题目一：$\displaystyle若a+\frac1a=34,$求$\displaystyle a^{10}+a^5+\frac1{a^5}+\frac1{a^{10}}$的值。
解题思路：通过观察发现，已知条件为$\begin{split}a+\frac1a=3\end{split}$，而所求的代数式中有$\begin{split}a^5+\frac1{a^5}\end{split}$以及$\begin{split}a^{10}+\frac1{a^{10}}\end{split}$的项，这些项与已知条件的结构类似，都是一个数加它本身的到数，由完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$可以看出来，当a、b互为倒数的时候，2ab就是一个常数2，由此想到可以用平方再相乘的方式进行升幂，然后再消元的方法。
$\begin{split}解： \\&\because a+\frac1a=3 \\& \therefore(a+\frac1a)^2=a^2+\frac1{a^2}+2=9 \\&\therefore a^2+\frac1{a^2}=7 \\&\therefore(a+\frac1a)(a^2+\frac1{a^2})=a^3+\frac1{a^3}+(a+\frac1a)=3\times7=21 \\&\Rightarrow a^3+\frac1{a^3}=21-3=18 \\&继续升幂 \\&\therefore (a^2+\frac1{a^2})(a^3+\frac1{a^3})=a^5+\frac1{a^5}+a+\frac1{a}=7\times18=126 \\&\Rightarrow a^5+\frac1{a^5}=126-3=123 \\&又\because a^{10}+\frac1{a^{10}}=(a^5)^2+(\frac1{a^5})^2=(a^5+\frac1{a^5})^2-2=123^2-2=15127 \\\\&\therefore 原式=123+15127=15250\end{split}$
题目二：若$a、b$是正整数，且$a+b+ab=34$，求$a+b$的值。
解题思路：由于a、b都是正整数，如果能够将$a+b+ab=34$的左边分解成为$(a+?)(b+?)=$常数形式，就可以用$a、b$都是正整数的条件分别求出$a、b$的值。
$\begin{split}解： \\&\because a+b+ab=34 \\&\therefore a(1+b)+b=34 \\&\therefore a(1+b)+b+1=35 \\&\therefore(a+1)(b+1)=35 \\&\because a、b都是正整数 \\&\therefore a+1\ge2与b+1\ge2且也都是正整数\\& \because正整数35可以分解为两组正整数的积：5\times7或7\times5，1\times35或35\times1（不符合a+1\ge2的条件，舍去） \\&\therefore\left\{\begin{array}{c}a+1=5 \\b+1=7\end{array}\right. \ \ \ 或者\ \left\{\begin{array}{c}a+1=7 \\b+1=5\end{array}\right. \\&\therefore 无论哪种情况，可以求得：a+b=10\end{split}$
题目三：若$x、y$均为正整数，且$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{1998}$，求$x+y$的值。
解题思路：乍一看，无从下手，使用完全平方公式去左侧根号根本不行，所以还得从$x、y$都是正整数这个条件入手，通过分析根号下$x、y$的具体取值。
$\begin{split}解： \\ &\because\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{1998}=\sqrt{9\times222}=3\sqrt{222} \\&\therefore\sqrt{x}和\sqrt{y}应该是同类二次根式，否则无法合并同类项\\ &\therefore \left \{\begin{array}{c}\sqrt{x}=\sqrt{222}\\ \sqrt{y}=2\sqrt{222}\end{array}\right. \ \ 或\ \ \left\{\begin{array}{c}\sqrt{x}=2\sqrt{222} \\ \sqrt{y}=\sqrt{222}\end{array}\right. \\&\therefore 可以求得：\left \{\begin{array}{c}x=222\\ y=888\end{array}\right. \ \ 或\ \ \left\{\begin{array}{c}x=888 \\y=222\end{array}\right. \\&\therefore \ x+y=222+888=1110\end{split}$
题目四：若$x^2-y^2=16$，$(x+y)^2=8$，求$xy$的值。
解题思路：$x^2-y^2$是平方差公式，而$(x+y)^2=x^2+y^2+2xy$则是完全平方公式，由此可以设法通过变换消去二次项并求得$xy$的值。
$\begin{split}解：\\&\because x^2-y^2=(x+y)(x-y)=16\\&\therefore等式两边同时平方得： \\&(x+y)^2(x-y)^2={16}^2=256\\&已知(x+y)^2=8\ \\&\therefore(x-y)^2=32\end{split}$
$\left \{\begin{array}{c}(x-y)^2=32\\(x+y)^2=8\end{array}\right. \ \ \Rightarrow\ \ \left\{\begin{array}{c}(x-y)^2=x^2+y^2-2xy=32\ \ (1)\\ (x+y)^2=x^2+y^2+2xy=8\ \ \ (2)\end{array}\right. $
$(1)-(2)可得：-4xy=24那么可以得出：xy=-6$
题目五：已知$x、y$为正整数，且$x^2+y^2=2009$,求$x+y$的值。
解题思路：由于都是x、y是正整数，且$x^2和y^2$都是完全平方数，可以从这个方向进行突破。
$\begin{split}解： \\&首先将2009分解质因数，可得： \\&2009=7\times7\times41\\&\because2009=7^2\times41\\&=7^2\times(16+25)\\&=7^2\times(4^2+5^2)\\&=7^2\times4^2+7^2\times5^2\\&=(7\times4)^2+(7\times5)^2={28}^2+{35}^2 \\& \therefore2009={28}^2+{35}^2 \end{split}$
$\therefore \left \{\begin{array}{c}x=28\\y=35\end{array}\right. \ \ 或者\ \left\{\begin{array}{c}x=35\\y=28\end{array}\right. \therefore x+y=35+28=63$
题目六：已知$a^2=a+\sqrt7，b^2=b+\sqrt7 (a\ne{b})$求$a^2+b^2$的值。
解题思路：如果通过联立两个方程解出来a、b的值，然后计算$a^2+b^2$的值，可能比较复杂，需要通过形式变换进行求解。
$\begin{split}解：\\&\because\left \{\begin{array}{c}a^2=a+\sqrt7\ldots\ \ \ (1)\\b^2=b+\sqrt7\ldots\ \ \ (2)\end{array}\right. \end{split}$
$\begin{split}&\therefore (1)+(2)得：a^2+b^2=a+b+2\sqrt7\\&(1)-(2)得：a^2-b^2=a-b\\&\Rightarrow (a+b)(a-b)=a-b\ \ \ (3) \\&\because a\ne{b}\\&\therefore{a-b}\ne0，将(3)两边同时除以(a-b)\\&\therefore{a+b}=1\\&\therefore a^2+b^2=1+2\sqrt7\end{split}$
《“代数式求值问题技巧集锦（一）”》 有 1 条评论
$\displaystyle完全平方公式：(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$
$\displaystyle平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
$\displaystyle完全立方公式：(a\pm b)^3=a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3$
$\displaystyle立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
$\displaystyle立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
$\displaystyle四次方差公式：a^4-b^4=(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)$
$\displaystyle四次方和公式：a^4+b^4=(a+b)(a^3-a^2b+ab^2-b^3)$
$\begin{split}\displaystyle完全四次方公式：(a\pm b)^4=a^4\pm4a^3b+6a^2b^2\pm4ab^3+b^4\end{split}$
$\displaystyle五次方差公式：a^5-b^5=(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)$
$\displaystyle五次方和公式：a^5+b^5=(a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4)$
$\begin{split}\displaystyle完全五次方公式：&(a\pm b)^5=a^5\pm 5a^4b+10a^3b^2\pm10a^2b^3+5ab^4\pm b^5\end{split}$