题目一：首先来看第一个题目，化简二次根式$\begin{split}\frac{4\sqrt{3}}{2+\sqrt3+\sqrt7}\end{split}$，看似简单，会解者寥寥。
解题思路：这种化简二次根式 总体思路就是需要分母有理化，例如:
$\begin{split}\frac{a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{a(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}=\frac{a\sqrt{a}-a\sqrt{b}}{a-b}\end{split}$
这里由于分母三项，为了应用平方差公式，可以考虑把$2+\sqrt3$看作一个整体进行分母有理化操作。
$\begin{split}解:&原式=\frac{4\sqrt3[\sqrt7-(\sqrt3+2)]}{[\sqrt7+(\sqrt3+2)][\sqrt7-(\sqrt3+2)]} \\ \\&=\frac{4\sqrt3(\sqrt7-\sqrt3-2)}{(\sqrt7)^2-(\sqrt3+2)^2}=\frac{4\sqrt3(\sqrt7-\sqrt3-2)}{7-(3+4\sqrt3+4)}\\\\&=\sqrt3+2-\sqrt7\end{split}$
这就是最终的化简结果，今后遇到类似问题，可以考虑用把两项看作一个整体的方式进行分母有理化操作，并最终求解成功。这里可以通过观察，发现$2^2+(\sqrt3)^2=(\sqrt7)^2$， 可以考虑将$2+\sqrt3$看作一个整体。
题目二：初中数学，如何化简双重根式$\begin{split}\sqrt{6-\sqrt{35}}\end{split}$，难倒大片同学！
解题思路：这种化简双重根式，首先应该想到 就是如何将大根号内变成一个完全平方式，例如：$\begin{split}(a-b)^2或者(a+b)^2\end{split}$，然后通过观察可以发现35这个数字可以分解成为5和7两个因数，$\begin{split}\sqrt{35}=\sqrt7\times\sqrt5\end{split}$，而且$5+7=12$正好是$6$的$2$倍，因此可以通过一定变换技巧将$6-\sqrt{35}$变换为一个完全平方数。
$\begin{split}解:\\&\because6-\sqrt{35}=6-\sqrt7\sqrt5=\frac{12-2\sqrt7\sqrt5}{2}=\frac{7-2\sqrt7\sqrt5+5}{2}\\\\&=\frac{(\sqrt7)^2-2\sqrt7\sqrt5+(\sqrt5)^2}{2}=\frac{(\sqrt7-\sqrt5)^2}{2}\\\\&\therefore原式=\sqrt{\frac{\left(\sqrt7-\sqrt5\right)^2}{2}}=\frac{\sqrt7-\sqrt5}{\sqrt2}=\frac{\sqrt{14}-\sqrt{10}}{2}\end{split}$
拓展思维：化简双重根式$\begin{split}\sqrt{15-\sqrt{161}}\end{split}$
$\begin{split}解:\\&\because15-\sqrt{161}=15-\sqrt{23}\sqrt7=\frac{30-2\sqrt{23}\sqrt7}{2}=\frac{23-2\sqrt{23}\sqrt7+7}{2}\\\\&=\frac{(\sqrt{23})^2-2\sqrt{23}\sqrt7+(\sqrt7)^2}{2}=\frac{(\sqrt{23}-\sqrt7)^2}{2}\\\\&\therefore原式=\sqrt{\frac{\left(\sqrt{23}-\sqrt7\right)^2}{2}}=\frac{\sqrt{23}-\sqrt7}{\sqrt2}=\frac{\sqrt{46}-\sqrt{14}}{2}\end{split}$
这就是分母有理化之后的化简结果，需要一些转换技巧才能进行转换。其中，最关键的就是如何使用完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$的问题，通过拓展这道题目中的转化技巧，类似题目都可以采用类似的思路进行化简。
题目三：计算$\begin{split}\sqrt{6+\sqrt{11}}-\sqrt{6-\sqrt{11}}\end{split}$
解题思路：通过观察，可以发现$6+\sqrt{11}与6-\sqrt{11}$可以构造出完全平方数，可以设法计算出来原式的平方，然后再计算出原式的值。类似题目有两项根式，可以令原式=a，然后等式两边平方，求出来$a^2$后再开方，根据原式取值的正负舍去其中一个平方根即可。
$\begin{split}解：\\&令a=\sqrt{6+\sqrt{11}}+\sqrt{6-\sqrt{11}}\\\\&则：a^2=\left(\sqrt{6+\sqrt{11}}-\sqrt{6-\sqrt{11}}\right)^2=6+\sqrt{11}+6-\sqrt{11}-2\sqrt{(6+\sqrt{11})(6-\sqrt{11})}\\\\&=12-2\sqrt{25}=2\\\\&\because6+\sqrt{11}\gt6-\sqrt{11}\gt2\\\\&\therefore\sqrt{6+\sqrt{11}}-\sqrt{6-\sqrt{11}}\gt0\\\\&\therefore a^2=2解得：a_1=\sqrt2，a_2=-\sqrt2(舍去)，\\\\&最终的结果：a=\sqrt2\end{split}$
拓展思维：化简$\begin{split}\sqrt[4]{7+4\sqrt3}+\sqrt[4]{7-4\sqrt3}\end{split}$
解题思路：设法将根号下面转换为完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$的形式。
解法一：
$\begin{split}由于:7+4\sqrt3=2^2+2\times2\times\sqrt3+(\sqrt3)^2=(2+\sqrt3)^2\\\\7-4\sqrt3=2^2-2\times2\times\sqrt3+(\sqrt3)^2=(2-\sqrt3)^2\end{split}\\\\$
$\begin{split}&原式=\sqrt[4]{(2+\sqrt3)^2}+\sqrt[4]{(2-\sqrt3)^2}=\sqrt{2+\sqrt3}+\sqrt{2-\sqrt3}\\\\&=\sqrt{\frac{2(2+\sqrt3)}{2}}+\sqrt{\frac{2(2-\sqrt3)}{2}}=\frac{\sqrt{4+2\sqrt3}}{\sqrt2}+\frac{\sqrt{4-2\sqrt3}}{\sqrt2}\\&=\frac{\sqrt{(\sqrt3+1)^2}}{\sqrt2}+\frac{\sqrt{(\sqrt3-1)^2}}{\sqrt2}=\frac{\sqrt3+1}{\sqrt2}+\frac{\sqrt3-1}{\sqrt2}=\frac{2\sqrt3}{\sqrt2}=\sqrt6\end{split}$
解法二：
$\begin{split}&令\sqrt[4]{7+4\sqrt3}+\sqrt[4]{7-4\sqrt3}=a\\&则a^2=\left(\sqrt[4]{7+4\sqrt3}+\sqrt[4]{7-4\sqrt3}\right)^2=\sqrt{7+4\sqrt3}+\sqrt{7-4\sqrt3}+2\sqrt[4]{(7+4\sqrt3)(7-4\sqrt3)}\\&=\sqrt{(2+\sqrt3)^2}+\sqrt{(2-\sqrt3)^2}+2\sqrt[4]{7^2-(4\sqrt3)^2}=6\\&求得a=\pm\sqrt6\\&\because原式为偶数次方根\ge0，\therefore最终结果是:原式=\sqrt6\end{split}$
从上述例题可以发现，解法二更加具有通用性，而且一般情况下更简洁！
题目四：计算$\begin{split}\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^9\end{split}$，难倒不少学霸！
解题思路：利用立方和公式$\begin{split}(a\pm b)^3=a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3\end{split}$，进行多次降幂迭代计算。
$\begin{split}&解：\\&\because\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^3=\frac{1^3+3\times1^2\times \sqrt5+3\times1\times\sqrt5^2+\sqrt5^3}{8} \\&=\frac{1+3\sqrt5+15+5\sqrt5}{8}\\&=\frac{16+8\sqrt5}{8}=2+\sqrt5\end{split}$
$\begin{split}\therefore&原式=\left[\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^3\right]^3=(2+\sqrt5)^3=2^3+3\times2^2\times\sqrt5+3\times2\times\sqrt5^2+\sqrt5^3\\&=8+12\sqrt5+30+5\sqrt5=38+17\sqrt5\end{split}$
拓展思维：化简$\begin{split}\frac{\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}}{a}\end{split}$
$\begin{split}解：\\&令t=\frac{\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}}{a} \\&\therefore t^2=\frac{a\sqrt{a\sqrt{a}}}{a^2}=\frac{\sqrt{a\sqrt{a}}}{a}\\&\therefore t^4=\frac{a\sqrt{a}}{a^2}=\frac{\sqrt{a}}{a} \\&\therefore\displaystyle t^8=\frac{a}{a^2}=\frac{1}{a}\\&(t^8)^{\frac{1}{8}}=a^{-\frac{1}{8}}\end{split}$
一般来说，上述技巧基本能够涵盖初中数学中根式化简的基本方法，上述技巧的重点是如何构造一个完全平方式或者立方式，通过转换将根式降幂，最后达到化简根式的目的。
《“多次根式化简技巧集锦”》 有 1 条评论
$\displaystyle完全平方公式：(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$
$\displaystyle平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
$\displaystyle完全立方公式：(a\pm b)^3=a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3$
$\displaystyle立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
$\displaystyle立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$