这明显有悖于人的直觉：体积有限的物体，表面积却可以是无限的！
　　换句话说，填满整个托里拆利小号只需要有限的水（π），但把托里拆利小号的表面润一遍，却需要无限多的水！
　　这本来是一个很好的微积分练习题，但没有一个数学家有勇气将其编入教材。
　　一方面是人类千万次实践的亲身体验，一方面是人类思维的骄傲——微积分。现在，二者发生了不可调和的矛盾，我们到底该相信哪一方呢？
　　这个问题历经 400 年，经过无数数学大师的检查，始终无法发现它在计算上有什么错误。于是，数学家们宣布，这个问题的正确答案，就是这样。
　　宣布这就是正确答案，等于同时宣布了数学真理的判别标准：当数学证明与人类社会实践结果发生冲突时，人类的实践不是检验真理的最终标准，数学家的数学证明才是检验真理的最终标准。
　　这与马克思主义背道而驰。
　　数学是人类思维的花朵，主体是意识；人类的实践是物质运动，主体是物质。宣布这就是正确答案，等于宣布了意识第一性、物质第二性：意识决定物质，是典型的唯心主义。
　　在唯心主义者看来，这个答案是完全可以接受的。但在马克思主义者看来，这个答案是不可接受的，因为它与人们千百年来无数次的实践结果不符。
　　为了捍卫马克思主义，我们必须改进数学理论，让理论服从实践，让物质决定意识，而不是相反。
　　那么，问题出在哪里呢？
  问题出在人类对于无穷概念的认识与应用上。
　　其实，早在 2000 多年前，古希腊的伟大学者亚里士多德就已经认识到：在数学中，只能接受潜无穷而不能接受实无穷，否则便会得到荒谬的结果。
　　所谓实无穷，就是对一个已经形成的、具有一定尺寸、一定形状的、实实在在的静态物体进行无限分割，并且总是分割不尽。例如，流传甚广的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，对一枝已经制作完毕的木棒无限分割，就是典型的实无穷。现代科学已经证明，我们的宇宙是一个量子的宇宙，宇宙中最小的物质单位是量子。当木棒分割到一个量子的尺度时，就无法再分割——因为量子是不可再分的。
　　所谓潜无穷，就是对物体的某一运动过程进行无限分割，总是分割不尽——没有最小，只有更小。例如，一只蜗牛每秒钟移动的距离（物理学中称为“位移”）可以是 1 厘米、1 毫米、1 微米、1 纳米，十分之一纳米、百分之一纳米、千分之一纳米、万分之一纳米、亿分之一纳米……无论多么小，总是允许的。
　　按照亚里士多德的理论，一把小号是一个已经形成的物体，它已经制造完毕，具有固定的重量、固定的长度，因此，不能将无穷用到它上面。如果我们想要求它的表面积、体积，一个必要条件是它已经制作完毕，具有确定不变的形状。
　　在前面的求解过程中，由于假定小号的长度是无限长，等于暗中承认了实无穷的存在，相当于这把小号一直在延长着，运动着，并且这种尺寸上的成长永无终止，这是一把没有完工的小号。长度不是固定的而是一直在增加着的小号。它导致了荒谬的结论：一个体积有限的小号，其内表面积居然是无限的！
  内表面积：
$\begin{split}S_内=\int_1^\infty {2\pi}\cdot ydx=\int_1^\infty \frac{2\pi}{x}dx=\left[2\pi lnx\right]_1^\infty=\infty\end{split}$
  体积：
$\begin{split}V_体=\int_1^\infty \pi\cdot y^2dx=\int_1^\infty \frac{\pi}{x^2}dx=\left[-\frac{\pi}{x} \right]_1^\infty=\left[\frac{\pi}{x}\right ]_\infty^1=\pi\end{split}$